Question

我的问题与Q1和Q2非常相似，只是我想处理数组可能有重复条目的情况。

假设数组A由按升序排序的整数组成。如果它的条目都是不同的，您可以使用二进制搜索在O（log n）中轻松完成。但是如果有重复的条目，那就更复杂了。这是我的方法：

int search(const vector<int>& A) {
    int left = 0, right = A.size() - 1;
    return binarySearchHelper(A, left, right);
}

int binarySearchHelper(const vector<int>& A, int left, int right) {
    int indexFound = -1;
    if (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (A[mid] == mid) {
            return mid;
        } else {
            if (A[mid] <= right) {
                indexFound = binarySearchHelper(A, mid + 1, right);
            }
            if (indexFound == -1 && A[left] <= mid) {
                indexFound = binarySearchHelper(A, left, mid - 1);
            }
        }
    }
    return indexFound;    
}

在最坏的情况下（A没有等于其索引的元素），binarySearchHelper进行2次递归调用，在每个递归级别输入大小减半，这意味着它的最坏情况时间复杂度为O（n ）。这与O（n）方法相同，您只需按顺序读取数组。这真的是你能做的最好的吗？另外，有没有办法测量算法的平均时间复杂度？如果没有，是否有一些启发式方法来决定何时使用基本的O（n）直读方法以及何时尝试递归方法，例如我的？

如果A有负整数，则需要检查if (left <= right)中的条件binarySearchHelper。例如，如果A = [-1]，那么算法会从bsh(A, 0, 0)递归到bsh(A,1,0)和bsh(A,0,-1)。我的直觉使我相信支票if (left <= right)是必要的，当且仅当A有一些负整数。任何人都可以帮我核实一下吗？

Answer 1

我会采取不同的方法。首先，我将通过对第一个正数进行二进制搜索来消除 O（log n）中的所有负数。这是允许的，因为没有负数可以等于其索引。让我们说第一个正元素的索引是i。

现在我将继续执行以下操作，直到找到该元素或发现它不存在：

如果i不在A内，则返回false。
如果i < A[i]做i = A[i]。需要A[i] - i重复才能让i赶上＆＃39;到A[i]，我们会i增加A[i] - i，这相当于将i设置为A[i]。转到1.
如果i == A[i]返回true（如果您愿意，则返回索引）。
查找大于i的第一个索引i <= A[i]。你可以这样做从左边做一个二进制搜索＆＃39;通过将i递增1,2,4,8等，然后在找到它的最后一个间隔进行二进制搜索。如果它不存在，则返回false。

在最糟糕的情况下，上面的结论是 O（n），但是在更好的情况下，它有很多技巧可以加快速度。

在排序的整数数组中搜索等于其索引的元素，其中A可能具有重复的条目

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