使用向量

Question

我有3D点，我需要将它们的2D正投影投影到由原点和普通n定义的平面上。这意味着基本上从顶部看（点给定垂直向量）。我该怎么办？

我在想的是：

1. 将投影点P投影到3D平面上：P - P dot n * n
2. 从＆＃34;返回＆＃34;看看3D平面关于正常（不确定如何定义）
3. 使用平面中点的最大 - 最小坐标进行正射投影以定义剪辑

我正在使用iOS。

Answer 1

这样做的一种方法是：

1. 旋转坐标系，使感兴趣的平面位于x-y平面，法线向量n与z轴对齐
2. 通过将点的z分量设置为0
，将点投影到x-y平面上

设置坐标转换

这个问题有很多解决方案，因为我们总是可以在x-y平面上旋转解决方案以获得另一个有效的解决方案。

要解决这个问题，让我们选择一个位于平面中的向量v，该向量将在转换后与x轴对齐。任何矢量都可以;让我们在坐标为x=1和y=0的平面中拍摄矢量。

由于我们的平面与原点相交，其等式为：

x*n1 + y*n2 + z*n3 = 0
z = -(x*n1 + y*n2)/n3

在替换x=1，y=0后，我们看到了

v = [1 0 -n1/n3]

我们还需要确保v已标准化，因此请设置

v = v/sqrt(v1*v1 + v2*v2 + v3*v3)

编辑：在n3=0的情况下，上述方法将失败。另一种查找v的方法是从我们的点集中随机点P1 不 n的标量倍数并计算v = P1 - P1 dot n * n }，这是P1投影到平面中。只需继续搜索您的积分，直到找到满足(P1 dot n/norm(n)) != P1的积分，并确保其有效。

现在我们需要一个向量u，它将在转换后与y轴对齐。我们从n和v：

的叉积得到此结果

u = n cross v

如果n和v已标准化，则u会自动归一化。

接下来，创建矩阵

M = [ v1 v2 v3 ]
    [ u1 u2 u3 ]
    [ n1 n2 n3 ]

转换积分

现在给出一个3乘N的点P数组，我们只需按照上面的两个步骤进行操作

1. P_transformed = M*P
2. P_plane = set the third row of P_transformed to zero

P_plane的x-y坐标现在是平面中的2D坐标系。

如果您需要返回3D空间坐标，只需使用P_space = M_transpose*P_plane进行反向转换。