什么是复杂度？ （比特，元素数量......）

Question

我已经读过，测试素性的天真方法具有指数复杂性，因为您可以根据输入的大小来判断算法。神秘的是，人们坚持认为，在讨论整数的素数时，输入大小的适当度量是位数（不是n，整数本身）。

然而，在讨论像Floyd这样的算法时，通常根据节点数来说明复杂性，而不考虑存储这些节点所需的比特数。

我不想在这里争论。老实说，我不理解这个推理。请解释。感谢。

Answer 1

传统上讲，复杂性是根据输入的大小来衡量的。

在数字的情况下，输入的大小是该数字的对数（因为它是它的二进制表示），在图形的情况下，所有边和顶点必须以某种方式在输入中表示，因此大小输入在|V|和|E|中是线性的。

例如，在数字本身的线性时间内运行的朴素素性测试称为伪多项式。它是数字中的多项式，但它不是输入大小的多项式，即log(n)，它实际上是输入大小的指数。

作为旁注，如果你在这个问题中使用位，字节或任何其他CONSTANT因子的输入大小并不重要，因为在将渐近符号计算为常量时，它将被丢弃。

Answer 2

主要区别在于，在讨论算法时，我们会在脑海中留下能够对O（1）时间内使用的数据执行操作的硬件。当严格或在考虑不能适合处理器寄存器的数据时，考虑到帐户的位数变得很重要。

Answer 3

尽管输入的大小是以位数来衡量的，但在很多情况下我们可以使用一种快捷方式来分割出一定数量的位。这个常数因子嵌入在我们为数据结构选择的表示中。

在讨论图算法时，我们假设每个顶点和每个边缘在位数方面具有固定的表示成本，这不依赖于顶点和边的数量。这个假设要求与顶点和边相关联的权重在位数方面具有固定的大小（即所有整数，所有浮点数等）

有了这个假设，邻接列表表示每个边或顶点都有固定的大小，因为除了权重之外，我们每个边需要一个指针和每个顶点一个指针，我们假设它们也是常量。

相邻矩阵表示也是如此，因为矩阵需要W（E ² + V）位，其中W是存储权重所需的位数。

在极少数情况下，当权重本身依赖于顶点或边的数量时，固定权重的假设不再成立，因此我们必须回到计算位数。