我尝试在Coq中形式化群组。我希望尽可能地一般。我尝试做某事，但我对此并不满意。我找到了不同的实现，我不知道选择哪一个。
例如我发现了这个：
https://people.cs.umass.edu/~arjun/courses/cs691pl-spring2014/assignments/groups.html
(* The set of the group. *)
Parameter G : Set.
(* The binary operator. *)
Parameter f : G -> G -> G.
(* The group identity. *)
Parameter e : G.
(* The inverse operator. *)
Parameter i : G -> G.
(* For readability, we use infix <+> to stand for the binary operator. *)
Infix "<+>" := f (at level 50, left associativity).
(* The operator [f] is associative. *)
Axiom assoc : forall a b c, a <+> b <+> c = a <+> (b <+> c).
(* [e] is the right-identity for all elements [a] *)
Axiom id_r : forall a, a <+> e = a.
(* [i a] is the right-inverse of [a]. *)
Axiom inv_r : forall a, a <+> i a = e.
但为什么作者使用公理而不是定义？此外，我不喜欢在顶层有一些参数。
在CoqArt一书中，我找到了这个实现：
Record group : Type :=
{A : Type;
op : A→A→A;
sym : A→A;
e : A;
e_neutral_left : ∀ x:A, op e x = x;
sym_op : ∀ x:A, op (sym x) x = e;
op_assoc : ∀ x y z:A, op (op x y) z = op x (op y z)}.
在这个定义中，我认为定义是 specialize ，因为如果我想定义单词，我将重新定义op_assoc或neutre left。除此之外， 对于某些定理，我不需要使用组。例如，如果我想证明，如果法律是关联的，right_inverse与left_inverse相同。
另一个问题是什么是群体的好公理：
使用起来更方便？
最后，如果我想证明其他一些定理，我可能想要一些语法糖以便使用二元运算和逆元素。您有什么建议为团体提供方便的符号？
目前我这样做了：
Definition binary_operation {S:Set} := S -> S -> S.
Definition commutative {S:Set} (dot:binary_operation) := forall (a b:S), dot a b = dot b a.
Definition associative {S:Set} (dot:binary_operation) := forall (a b c:S), dot (dot a b) c = dot a (dot b c).
Definition left_identity {S:Set} (dot:binary_operation) (e:S) := forall a:S, (dot e a) = a.
Definition right_identity {S:Set} (dot:binary_operation) (e:S) := forall a:S, (dot a e) = a.
Definition identity {S:Set} (dot: binary_operation) (e:S) := left_identity dot e /\ right_identity dot e.
Definition left_inv {S:Set} (dot:binary_operation) (a' a e:S) := identity dot e -> dot a' a = e.
Definition right_inv {S:Set} (dot:binary_operation) (a' a e:S) := identity dot e -> dot a a' = e.
Definition inv {S:Set} (dot:binary_operation) (a' a e:S) := left_inv dot a' a e /\ right_inv dot a' a e.
我在Coq的代码源中找到了一个实现，但我不明白为什么它是一个很好的实现：https://github.com/tmiya/coq/blob/master/group/group2.v
答案 0 :(得分：5)
我无法提供完整的答案，但也许这可以帮到你一点。
你的第一篇文章提供了足以证明练习的定义和公理，而没有过多关注“良好”或“有用”的实施。这就是公理而不是定义的原因。
如果您希望“尽可能一般”，您可以使用CoqArt中的示例，或使用Variable代替Parameter将您的群组定义打包在一个部分中。
Section Group.
(* The set of the group. *)
Variable G : Set.
(* The binary operator. *)
Variable f : G -> G -> G.
(* The group identity. *)
Variable e : G.
(* The inverse operator. *)
Variable i : G -> G.
(* For readability, we use infix <+> to stand for the binary operator. *)
Infix "<+>" := f (at level 50, left associativity).
(* The operator [f] is associative. *)
Variable assoc : forall a b c, a <+> b <+> c = a <+> (b <+> c).
(* [e] is the right-identity for all elements [a] *)
Variable id_r : forall a, a <+> e = a.
(* [i a] is the right-inverse of [a]. *)
Variable inv_r : forall a, a <+> i a = e.
如果你在本节中证明了一些定理，就像这样：
Theorem trivial : forall a b, a <+> e <+> b = a <+> b.
intros.
rewrite id_r.
auto.
Qed.
部分结束后，
End Group.
Coq概括了他们
Check trivial.
琐碎 ：forall（G：Set）（f：G - > G - > G）（e：G）， （fo a：G，f a e = a） - ＆gt; forall a b：G，f（f a e）b = f a b
至于你的上一个例子，它可能不是关于组的实际定义，而是关于证明该操作的集合，二元操作和四个公理定义一个组。