Question

当要删除的节点有两个子节点时，请考虑BST上的删除过程。假设我总是用在右子树中保存最小键的节点替换它。

问题是：这个程序是可交换的吗？也就是说，删除x然后y具有与删除第一个y然后x？

相同的结果

我认为答案是否定的，但我找不到反例，也没有找出任何有效的推理。

编辑：

也许我必须更清楚。

考虑transplant(node x, node y)过程：它将y替换为y（及其子树）。所以，如果我想删除一个有两个子节点的节点（比如说x），我用它右边子树中保存最小键的节点替换它：

y = minimum(x.right)
transplant(y, y.right) // extracts the minimum (it doesn't have left child)
y.right = x.right
y.left = x.left
transplant(x,y)

问题是如何证明上述程序不是可交换的。

Answer 1

删除（一般情况下）不可交换。这是一个反例：

如果我们删除4然后删除3会怎样？

当我们删除4时，我们得到6作为新根：

   6
  / \
 3   7

删除3不会改变树，但是给我们这个：

  6
   \
    7

如果我们删除3然后删除4怎么办？

当我们删除3时，树不会改变：

但是，当我们现在删除4时，新的根变为7：

  7
 /
6

两个结果树不一样，因此删除不是可交换的。

<强>更新

当你总是删除一个有2个孩子的节点时，我没有读到这个限制。我的解决方案是针对一般情况的。如果/当我能找到一个反例时，我会更新它。

另一个更新

我没有具体的证据，但我会冒险猜测：

在一般情况下，根据您是否有两个孩子，一个孩子或没有孩子，您可以不同地处理删除。在我提供的反例中，我首先删除一个有两个子节点的节点，然后删除一个有一个子节点的节点。之后，我删除一个没有子节点的节点，然后删除另一个有一个子节点的节点。

在仅删除具有两个子节点的节点的特殊情况下，您需要考虑两个节点都在同一子树中的情况（因为如果它们位于不同的子树中则无关紧要;您可以确保整体结构不会根据删除顺序而改变）。你真正需要证明的是，在每个节点有两个子节点的同一子树中删除节点的顺序是否重要。

考虑两个节点A和B，其中A是B的祖先。然后，您可以进一步细化问题：

当您考虑从二进制搜索树中删除两个具有祖先 - 后代关系的节点时，删除是否可交换（这意味着它们位于同一子树中）？

删除节点（假设为A）时，遍历右侧子树以查找最小元素。此节点将是叶节点，并且永远不能等于B（因为B有两个子节点，不能是叶节点）。然后，您将使用此叶节点的值替换A的值。这意味着树的唯一结构变化是用叶节点的值替换A的值，以及丢失叶节点。

B涉及相同的过程。也就是说，您替换节点的值并替换叶节点。因此，通常，当您删除具有两个子节点的节点时，唯一的结构更改是您要删除的节点的值的更改，以及删除您用作替换的值的叶节点

所以问题进一步完善：

您能否保证无论删除顺序如何（当您总是删除有两个孩子的节点时），您将始终获得相同的替换节点？

答案（我认为）是肯定的。为什么？以下是一些观察结果：

假设您先删除后代节点，然后再删除祖先节点。删除后代节点时修改的子树在祖先节点的右子节点的左子树中是不。这意味着此子树不受影响。这也意味着无论删除顺序如何，都会修改两个不同的子树，因此操作是可交换的。
再次，假设您先删除后代节点，然后再删除祖先节点。删除后代节点时修改的子树是在祖先节点的右子节点的左子树中。但即使在这里，也没有重叠。原因是当您首先删除后代节点时，您会查看后代节点的 right 子节点的左子树。然后当你删除祖先节点时，从不下去那个子树，因为你输入祖先节点的右边孩子的左边后总是向左移动子树。所以，无论你先删除什么，你都要修改不同的子树，所以看起来顺序并不重要。
另一种情况是，如果首先删除祖先节点，并且发现最小节点是子节点的子节点。这意味着后代节点将以一个子节点结束，删除一个子节点是微不足道的。现在考虑在这种情况下，您首先删除了后代节点的情况。然后，您将使用其右子项替换子节点的值，然后删除正确的子项。然后，当您删除祖先节点时，您最终会找到相同的最小节点（旧的已删除节点的左子节点，也是替换节点的左子节点）。无论哪种方式，你最终都会采用相同的结构。

这不是一个严格的证明;这些只是我所做的一些观察。无论如何，请随意戳破洞！

Answer 2

在我看来，Vivin的答案中显示的反例是非交换性的唯一情况，并且确实通过限制只能删除有两个孩子的节点来消除它。

但是，如果我们放弃看起来像Vivin的前提之一，也可以消除它，即我们应该尽可能少地遍历正确的子树以找到任何可接受的继任者。相反，如果我们总是将右子树中的最小节点作为后继子进行推广，无论它到底有多远，那么即使我们放宽了删除少于两个孩子的节点的限制，Vivin的结果也是如此

    7
   /
  6

如果我们从

开始，就永远不会到达

相反，我们首先删除3（没有后继者），然后删除4（以6为继承者），屈服

    6
     \
      7

与删除顺序相反的情况相同。

删除将是可交换的，并且我认为它总是可交换的，给定我已命名的前提（后继者总是删除节点的右子树中的最小节点）。

我没有提供正式证明，只是列举了一些案例：

如果要删除的两个节点位于不同的子树中，则删除一个节点不会影响另一个节点。只有当它们处于相同的路径时，删除顺序才可能影响结果。

因此，只有当祖先节点及其后代之一都被删除时，才能对交换性产生任何影响。现在，他们的垂直关系如何影响交换？
祖先左子树中的后代。这种情况不会影响交换性，因为后继来自正确的子树，根本不会影响左子树。
祖先右子树中的后代。如果祖先的继承者始终是右子树中的最小节点，那么删除顺序不能改变后继者的选择，无论是什么后代在祖先之前或之后被删除。即使祖先的后继者被证明也是要被删除的后代节点，该后代也被替换为它的下一个最大的节点，并且该后代不能拥有自己的左子树来处理。因此，删除祖先和任何右子树后代将始终是可交换的。

Answer 3

我认为有两种同样可行的删除节点的方法，当它有两个孩子时：
跳到案例4 ...

案例1：删除3（Leaf节点）
2 3
/ \ - ＆gt; / \
1 3 1

案例2：删除2（左子节点）
2 3
/ \ - ＆gt; / \
1 3 1

案例3：删除2（右子节点）
2 2
/ \ - ＆gt; / \
1 3 3

<强> ______________________________________________________________________
案例4：删除2（左和右子节点）
2 2 3
/ \ - ＆gt; / \ 要么 / \
1 3 1 3
同时工作并产生不同的树木：） 的 ______________________________________________________________________
这里解释的算法：http://www.mathcs.emory.edu/~cheung/Courses/323/Syllabus/Trees/AVL-delete.html Deleting a node with 2 children nodes: 1) Replace the (to-delete) node with its in-order predecessor or in-order successor 2) Then delete the in-order predecessor or in-order successor

Answer 4

我在此回应Vivin的第二次更新。

我认为这是对这个问题的重写：

当你是的时候删除是可交换的考虑删除两个节点从二进制搜索树中有一个祖先 - 后裔的关系彼此（这意味着他们是在同一个子树）？

但是下面这个粗体句子不是真的：

删除节点时（假设是A），你遍历正确的子树找到最小元素。 此节点将是一个叶子节点，永远不能等于B

因为A右子树中的最小元素可以有一个正确的子。所以，它不是一片叶子。让我们调用A右子树successor(A)中的最小元素。现在，B不可能是successor(A)，但它可以在其正确的子树中。所以，这是一团糟。

我试着总结一下。

<强>假设：

A和B各有两个孩子。
A和B属于同一子树。

其他的东西我们可以从假设中推断出来：

B不是successor(A)，A不是successor(B)。

现在，鉴于此，我认为有4种不同的情况（像往常一样，让我们成为B的祖先）：

B位于A的左子树
B是successor(A)
successor(A)是B
B和继承人（A）没有任何关系。（他们使用不同的A的子树）

我认为（但当然我无法证明）案例1,2和4并不重要。因此，只有在successor(A)是B删除过程的祖先的情况下，才能进行交换。或者可以吗？

我传球：）

问候。

二进制搜索树的删除过程

4 个答案: