PyMC：估计人口参数，其中每个观测值是两个Weibull分布变量的总和

Question

我有一个n个观察列表，每个观察值是两个Weibull分布式变量的总和：

x[i] = t1[i] + t2[i]
t1[i] ~ Weibull(shape1, scale1)
t2[i] ~ Weibull(shape2, scale2)

我的目标是：

1）估算威布尔分布（shape1，scale1，shape2，scale2）的形状和比例参数，

2）对于每个观察x [i]，估计t1 [i]（并且t2 [i]由此得出）。

（旁白：每次观察x [i]是癌症诊断的年龄，t1 [i]和t2 [i]是肿瘤发展的两个不同时期。模型也涉及变异数据，但在我尝试之前，我想确保我可以使用PyMC来解决这个更简单的问题。）

我正在使用PyMC2进行这些估算，看起来运行会收敛，但结果不正确。我不知道我的PyMC模型语法，MCMC设置或两者都有问题。我尝试调整this advice使用潜能来模拟潜在变量。首先，我为每个观察定义x [i]和t1 [i]：

for i in xrange(n):
    x[i] = pm.Index('x_%i'%i, x=data, index=i) # data is a list of observations
    t1[i] = pm.Weibull('t1_%i'%i, alpha=shape1, beta=scale1)
    # Ensure that initial guess for t1 is not more than the observed sum:
    if t1[i].value >= x[i].value:
        t1[i].value = 0.95 * x[i].value

然后我为t2 [i] = x [i] - t1 [i]定义了一个确定性：

for i in xrange(n):
    def subtractfunc(t1=t1, x=x, ii=i):
        return x[ii] - t1[ii]
    t2[i] = pm.Lambda('t2_%i'%i, subtractfunc)

最后我定义了t2 [i]的潜力：

t2dist = np.empty(n, dtype=object)
for i in xrange(n):
    def weibfunc(t2=t2, shape2=shape2, scale2=scale2, ii=i):
        return pm.weibull_like(t2[ii], alpha=shape2, beta=scale2)
    t2dist[i] = pm.Potential(logp = weibfunc,
                               name = 't2dist_%i'%i,
                               parents = {'shape2':shape2, 'scale2':scale2, 't2':t2},
                               doc = 'weibull potential for t2',
                               verbose = 0,
                               cache_depth = 2)

您可以看到我的完整代码here。我通过模拟60个独立观察进行测试，其中shape1 = 1，scale1 = 30，shape2 = 6.5，scale2 = 10，我运行AdaptiveMetropolis的1e5次迭代。结果收敛于shape1 = 1.94，scale1 = 37.9，shape2 = 0.55，scale2 = 36.1的平均值，95％HPD不包括真值。正如this histogram所示，由此产生的分布甚至没有在正确的球场内。 （蓝色显示我使用的模拟数据x [i]，而红色显示MCMC运行中代表性迭代的完全不同的推断分布。）

使用不同的随机种子再次运行，我得到shape1 = 4.65，scale1 = 23.3，shape2 = 0.83，scale2 = 21.3。这种分布有点接近事实。有没有办法改变MCMC设置，以便始终为这类问题获得不错的结果？任何关于更有效地使用PyMC的建议都非常感谢。

更新 - 尝试了“辅助”MCMC运行：

我还尝试通过使用接近事实的值初始化人口级参数来协助MCMC运行。结果稍好一些，但我现在发现了系统的偏见。下面的直方图显示了观测值（蓝色）与拟合分布（红色）的真实分布。右尾很合适，但是合身无法捕捉左侧的尖峰。对于n = 60和100的人口规模，这种偏差是一致的。我不确定这是更多的PyMC问题还是一般的MCMC算法问题。