Question

我对背包问题有一些变化，我正在努力寻找有效的解决方案。

假设您有多组商品。每个组可以有任意数量的项目，每个项目都有一个值和重量。问题是找到具有最大总值，重量＆lt;的物品组。一些限制，（棘手的部分）只包括每个组中的一个项目是有效的。

也就是说，想象一下你有数百种可供挑选的物品，但你必须吃一个三明治，一个饮料，一个小吃，一个手电筒等。不仅仅是你不能从任何一组中拿走多个，但是如果有g个小组，你必须在一天结束时最后得到总数为g的项目。

看起来这应该比基本问题更快，因为很多组合都是无效的，但我很难找到解决方案。

Answer 1

C ++中的示例代码。该函数返回最大可实现值，如果不存在可行解，则返回-1。它在O(n * max_weight)中运行，其中n是计算所有组的项目总数，max_weight是权重限制。复杂性与解决原始背包问题的经典算法相同。该代码在Evgeny Kluev的回答中实现了算法。

int CalcMaxValue(const std::vector<std::vector<int>>& weight,
                 const std::vector<std::vector<int>>& value,
                 int max_weight) {
    std::vector<int> last(max_weight + 1, -1);
    if (weight.empty()) return 0;
    for (int i = 0; i < weight[0].size(); ++i) {
        if (weight[0][i] > max_weight) continue;
        last[weight[0][i]] = std::max(last[weight[0][i]], value[0][i]);
    }
    std::vector<int> current(max_weight + 1);
    for (int i = 1; i < weight.size(); ++i) {
        std::fill(current.begin(), current.end(), -1);
        for (int j = 0; j < weight[i].size(); ++j) {
            for (int k = weight[i][j]; k <= max_weight; ++k) {
                if (last[k - weight[i][j]] < 0) continue;
                current[k] = std::max(current[k], last[k - weight[i][j]] + value[i][j]);
            }
        }
        std::swap(current, last);
    }    
    return *std::max_element(last.begin(), last.end());
}

Answer 2

对于整数权重而不是太大的限制，您可以应用通常的动态编程方法（略微修改）。

使用一对数组将每个可能的权重映射到值。其中一个数组（A）保存已处理的组的结果。其他数组（B）用于接收来自第一个数组和当前正在处理的组的项的值之和。当从一个组到另一个组时，交换这些数组并清除数组B。最后（像往常一样）你必须得到数组B中的最大值。

渐近复杂度与通常的动态编程算法相同。但是您的结论是should be faster to do than the basic problem有点真实，因为您可以相互独立地处理同一组的每个元素，因此通常算法的这种修改可以更好地并行化。

背包从不同的组中选择

2 个答案: