存在问题"Find the element repeated more than n/2 times"
请帮助估算使用随机的解决方案的时间复杂度：
如果我使用提供随机统一数字的完美随机生成器，这种方法的最坏情况会是什么？ O(N²)？
我的直觉说，平均而言，它应该在两次尝试中给出答案，但这只是平均情况。怎么证明呢？我不太确定如何估计随机算法的运行时间。
答案 0 :(得分：2)
假设实际上有一个元素出现的次数超过n / 2次，则预期的运行时间为O（n）。你可以这样思考 - 每次你选择一个元素时，你需要做O（n）工作来检查它是否是多数元素。那么问题是，你需要选择多少元素，期望值。每次你随机选择一个元素时，你至少有1/2的概率选择一个多数元素。在期望中，这意味着在找到多数元素之前，您需要选择两个元素，因此运行时将为O（n）。如果您对此感到好奇，请注意，在确切的k探针（k> 0）之后找到您正在寻找的内容的概率最多为2 -k ，因为您需要让第一个k-1探针不成功，然后让第k个探针成功。然后，您可以将期望值计算为
0 * 2 -0 + 1 * 2 -1 + 2 * 2 -2 + ...
= 2
（已知这个总和恰好有两个，虽然证明它有点混乱。）
在最糟糕的情况下，每次选择元素时，您都会选择不属于多数元素的元素。但这是非常不可能的 - 在k轮之后你没有找到多数元素的概率最多为2 -k 。对于k = 300，此数字小于宇宙中原子数的1。因此，即使你不能限制最坏情况的运行时间，它也是不可能的，你可以放心地忽略它。
希望这有帮助！
答案 1 :(得分：2)
此算法的最坏情况运行时间没有限制。
＆＃34;完美＆＃34;随机数发生器的输出不能取决于以前的历史;否则它将是不完美的（真实世界的伪rngs以这种方式是不完美的，所以你可能能够构建一个特定PRNG的真实界限。）
因此，在RNG猜测多数元素的位置之前，可能需要进行任意数量的猜测。
如果您允许重新排列数组，则可以将错误的猜测交换到数组（仍未知）部分的开头，然后将猜测限制为尚未取消的位置。这会将迭代次数限制为n / 2-1，因此算法的最坏情况运行时间为O（n 2 ）。
虽然它对big-O运行时没有影响，但你几乎总能提前停止计数扫描，因为你已经找到了n / 2 + 1个元素，或者因为没有足够的未扫描元素留给将计数提升到该阈值。即使进行了这种优化，单次扫描的最坏情况（交替元素）时间仍为n，预期扫描仍为O（n）。
答案 2 :(得分：1)
对于随机算法，预期的运行时间可以更好地表征其运行时间。对于您描述的算法，预期的运行时间最多为
S = n * 1/2 + 2n * 1/2^2 + 3n * 1/2^3 + ... up to infinity
我们可以解决这个问题如下：
S = n/2 + 2n/2^2 + 3n/2^3 + ... up to infinity
2S = n + 2n/2 + 3n/2^2 + 4n/2^3 + ... up to infinity
(subtracting the top from bottom)
S = n + n/2 + n/4 + n/8 + ... up to infinity
= 2n
所以预期的运行时间是O（n）。
答案 3 :(得分：0)
如果我们谈论最坏情况复杂性，我们指的是输入的最坏情况，即强制算法进入最差情况的输入可能的运行时间。
随机算法也是如此。我们计算了最坏情况输入的预期复杂度。
在您的示例中，最差的输入是长度为n的数组，只包含a ⌊n/2⌋+1次的数字。
复杂性现在为O(n)⋅E[X]，其中X是您必须从数组中随机选择一个数字的尝试次数，直到您选择a为止。
如果数组a中m为E[X] = n/m次，则为E[X] = n/(⌊n/2⌋+1) < n/(n/2) = 2次。因此，对于我们最糟糕的情况输入，我们得到O(n)。
因此，这种随机算法的最坏情况复杂度为{{1}}。