Question

我寻找一种算法，该算法将枚举所有非负整数K - by - K矩阵，使得行和列总和为给定值。

准确地说：给定K - 非负整数m，n和sum(m) = sum(n)的向量，我会搜索所有矩阵X=(x_{ij})，以便{ {1}}和sum(x_{ij},i=1,...,K) = m_j。

因此，每一行都是sum(x_{ij},j=1,...,K) = n_i对应元素的整数分区，每列是n对应元素的整数分区。

Answer 1

这不是一个难题。给定矩阵条目的部分分配，存在多项式时间算法以检查是否存在至少一个满足矩阵（在指定矩阵条目的任何地方具有容量下限/上限的最大流量）。这直接导致多项式延迟枚举算法：走一棵树，其中每个内部节点对应于“将当前矩阵条目增加一个”或“移动到下一个条目”之间的决策。

Answer 2

您的问题可能会成为线性代数和/或整数线性编程中的问题。有k x k个变量和k + k个等式。该系统可以通过标准技术减少，例如Smith Normal Form。这种方法的问题是确保所有变量都是非负的。我怀疑要找到所有解决方案，您只需要逐步通过参数空间，当出现负数时停止。我怀疑有一种更有效的方法，但这只是一种直觉。

或者您可以将问题视为整数线性规划问题，具有常量（或其他非实质）目标，如minimize 0x_{ij}或minimize d其中d不是出现的变量别处。有关示例，请参阅http://www.aiexp.info/calculating-all-feasible-solutions-of-ilp.html。

无论如何，回到线性代数。由于存在k^2个变量和2k-1个约束（其中一个约束是多余的，因为所有＆＃34;跨＆＃34;等式的总和等于所有＆＃34; down＆＃的总和34;方程式），有k^2-2k+1 = (k-1)^2个自由变量。这应该让我们寻找一个自由变量的正方形子矩阵。实际上，我们可以将任何方形小调（例如左上角(k-1)x(k-1)角落）视为空闲。这将确定位置(i,k)，i<k以及位置(k,j)，j<k中的值。最后，底角(k,k)由其上方的所有条目或其左侧确定。（这两种方法应该一致。）

使用这个想法，我看到了两种不同的方法。第一种方法是填充从所有1的方形(k-1)x(k-1)子矩阵开始的自由变量，并增加它们的里程表样式。在每个步骤中，计算边缘和拐角变量，并在其中一个计算值达到0时停止扩充某个数字。可以置换行和/或列，以便在战略时使用最小的总和（或者或者最后，我不确定。我为k = 3手动完成了这项工作。这需要很长时间，因为有很多答案。

更智能的方法如下。不是确定(k-1)x(k-1)子矩阵，而是确定边缘上的其他值（(i,k)和(k,j)位置）。角落是＆＃34;超定的＆＃34;所以我们必须小心我们做事的顺序，否则它就是直截了当的。然后，它告诉我们每行和每列中剩余元素的总和应该是多少，因此我们将kxk矩阵上的问题减少到(k-1)x(k-1)矩阵上的问题。换句话说，我们可以使用递归。

使用k=3问题来完成整个过程是有益的，其中所有行和列总和为4.填充右边和底边的各种方法如下：

XX1 XX1 XX1 XX2 XX2
XX1 XX2 XX2 XX1 XX1
112 121 211 121 211

在第一种情况下，我们得到了减少的问题

XX = 3
XX = 3
==
33

为了解决这个问题，我们按照上面的步骤，使用较小的矩阵。可能的边缘是

X1 X2
12 21

直接导致解决方案

21 12
12 21

将它们替换为它们来自的3x3矩阵，我们得到以下解决原始问题的方法：

211 121
121 211
112 112

接下来考虑3x3情况

XX1
XX2
121

这导致2x2问题

XX=3
XX=2
==
32

在这种情况下唯一有效的边缘是

X1
11

提供了唯一的解决方案

21
11

替换回来的3x3情况，我们得到另一个原始问题的解决方案，

211
112
121

等等。

Answer 3

我从评论中看到，您正在寻找问题的名称，以便找到实施或一些文献。因此，您的问题名称是：“枚举具有固定边距的列联表”，实际上非常复杂（除了2行和2列的情况）。它被称为＃P-complete，即使你只有2行和n列。因此，通常，使用近似算法来计算解（或mcmc算法以随机生成它们）。奇怪的是，D.Knuth和F.Ruskey都将这个问题作为各自书籍的练习 This paper提供了对精确算法和近似算法的良好（不是最新）评论。一个典型的应用是用于计算Fisher精确测试的统计数据，因此搜索它也会产生很好的结果。

计算整数分区的某些矩阵的算法

3 个答案: