Kruskal算法的运行时间

Question

Kruskal的算法如下：

MST-KRUSKAL(G,w)
1. A={}
2. for each vertex v∈ G.V
3.      MAKE-SET(v)
4. sort the edges of G.E into nondecreasing order by weight w
5. for each edge (u,v) ∈ G.E, taken in nondecreasing order by weight w
6.      if FIND-SET(u)!=FIND-SET(v)   
7.         A=A U {(u,v)}  
8.         Union(u,v)
9. return A

根据我的教科书：

  

初始化第1行中的集合A需要O（1）时间和排序时间   第4行的边是O（E lgE）。第5-8行的for循环执行   不相交森林的O（E）FIND-SET和UNION操作。沿   与| V | MAKE-SET操作，总共取O（（V + E）α（V））   时间，α是一个非常缓慢增长的功能。因为我们假设   G连接，我们有| E | ＆lt; = | V | -1，因此不相交集   操作需要O（Eα（V））时间。此外，由于α（V）= O（lgV）= O（lgE），   Kruskal算法的总运行时间为O（E lgE）。观察   那| E |＆lt; | V | ^ 2，我们有lg | E | = O（lgV），所以我们可以重申一下   Kruskal算法的运行时间为O（E lgV）。

你能解释一下为什么我们推断出第4行的边缘排序时间是O（E lgE）吗？ 另外我们如何得出总时间复杂度为O（（V + E）α（V））？

另外，假设图中的所有边权重是从1到| V |的整数。你能以多快的速度运行Kruskal的算法？如果对于某些常数W，边缘权重是1到W范围内的整数怎么办？

时间复杂度如何取决于边缘的重量？

编辑：

  

此外，假设图中的所有边权重都是整数   从1到| V |。你能以多快的速度运行Kruskal算法？

我考虑过以下几点：

为了让Kruskal的算法运行得更快，我们可以使用Counting Sort对边缘进行排序。

• 第1行需要O（1）时间。
• 第2-3行需要O（v）时间。
• 第4行需要O（| V | + | E |）时间。
• 第5-8行需要O（| E |α（| V |））时间。
• 第9行需要O（1）时间。

因此，如果我们使用Counting Sort来解决边缘问题，那么Kruskal的时间复杂度将是

你能告诉我我的想法是否正确吗？

此外：

  

如果边权重是1到W范围内的整数怎么办？   一些常数W？

我们将再次使用Counting Sort。算法将是相同的。我们发现时间复杂度如下：

• 第1行需要O（1）时间。
• 第2-3行需要O（| V |）时间。
• 第4行需要O（W + | E |）= O（W）+ O（| E |）= O（1）+ O（| E |）= O（| E |）时间。
• 第5-8行需要O（| E |α（| V |））时间。
• 第9行需要O（1）时间。

所以时间的复杂性将是：

Answer 1

  

你能解释一下为什么我们推断第4行的边缘排序时间是O（E * lgE）吗？

要对一组N个项目进行排序，我们使用O（N lg（N））算法，即快速排序，合并排序或堆排序。因此，为了对E边排序，我们需要O（E lg（E））时间。然而，在某些情况下这不是必需的，因为我们可以使用具有更好复杂性的排序算法（进一步阅读）。

  

另外，我们如何得出总时间复杂度为O（（V + E）α（V））？

我认为总复杂度不是O（（V + E）α（V））。这将是5-8循环的复杂性。 O（（V + E）α（V））复杂度来自V MAKE-SET操作和E Union操作。为了找出为什么我们将它与α（V）相乘，你需要在一些算法书中深入分析不相交集数据结构。

  

你能以多快的速度运行Kruskal的算法？

对于第一部分，第4行，我们有O（E * lg（E））复杂度，对于第二部分，第5-8行，我们有O（（E + V）α（V））复杂度。这两个总结了产量O（E lg（E））的复杂性。如果我们使用O（N * lg（N））排序，则无法改进。

  

如果边权重是1到W范围内的整数怎么办？   一些常数W？

如果是这种情况，我们可以使用第一部分的计数排序。赋予第4行O（E + W）= O（E）的复杂性。在那种情况下，算法将具有O（（E + V）*α（V））总复杂度。请注意，然而O（E + W）实际上包含一个可能相当大的常数，对于大W来说可能是不切实际的。

  

时间复杂度如何取决于边缘的重量？

如上所述，如果边缘的重量足够小，我们可以使用计数排序并加速算法。

  

编辑：

     

此外，假设图中的所有边权重都是整数   从1到| V |。你能以多快的速度运行Kruskal的算法？我有   想到以下几点：

     

为了让Kruskal的算法运行得更快，我们可以对边缘进行排序   应用Counting Sort。

     

第1行需要O（1）时间。线2-3需要O（vα（| V |））时间。   第4行需要O（| V | + | E |）时间。第5-8行需要   O（| E |α（| V |））时间。第9行需要O（1）时间。

你的想法是正确的，但你可以缩小范围。

线2-3需要O（| V |）而不是O（| V |α（| V |））。然而，我们在之前的计算中将其简化为O（| V |α（| V |）），以使计算更容易。

有了这个你得到的时间： O（1）+ O（| V |）+ O（| V | + | E |）+ O（| E |α（| V |））+ O（1）= O（| V | + | E | ）+ O（| E |α（| V |））

您可以将其简化为O（（| V | + | E |）*α（| V |）或O（| V | + | E | *α（| V |）。

所以当你是正确的，因为O（（| V | + | E |）*α（| V |）＆lt; O（（| V | + | E |）* lg（| E |）

| W |的计算是类似的。