MATLAB - 在没有工具箱的情况下拟合指数曲线

Question

我想对绘制的数据拟合衰减指数。我没有曲线拟合或优化工具箱。

x = [0    0.0036    0.0071    0.0107    0.0143    0.0178    0.0214    0.0250    0.0285    0.0321    0.0357    0.0392    0.0428    0.0464    0.0464];
y = [1.3985    1.3310    1.2741    1.2175    1.1694    1.1213    1.0804    1.0395    1.0043    0.9691    0.9385    0.9080    0.8809    0.7856    0.7856];

figure()
plot(x,y,'*')

我怎样才能在MATLAB中实现这个目标？

Answer 1

假设输入和输出点之间存在高斯分布式误差，并假设误差是加性的，您可以通过经典least squares来解决这个问题。它归结为具有超定线性方程组，其中每个约束定义一个输入 - 输出观察。以最少的残余误差求解这个超定线性系统是您正在寻找的解决方案。

买者

Jubobs在下面对我的评论中提出了一个非常有趣的观点。通常，最小化该残余误差的参数不会使原始问题的残留误差最小化。这个线性化步骤允许我们以更简单的方式解决参数，但这不是等效问题。但是，它通常在实践中被接受，因为解决方案足够好。

---

为了将其变为线性系统，我们需要做一些巧妙的重新排列。由于您希望使用指数模型拟合一系列点，因此输入x和输出y之间的关系为：

为了使其成为“线性”，我们可以采用双方的自然对数：

通过使用ln(ab) = ln(a) + ln(b)的事实，我们有：

同时知道，这简化为：

如您所见，上述等式现在相对于对数空间是“线性的”。给定一堆x和y值，(x_1, x_2, ..., x_n)和(y_1, y_2, ..., y_n)，我们可以在线性系统中将一组方程连接在一起：

如果我们让ln(A) = A'为了便于表示法，并重新排列它以使其呈矩阵形式，我们得到：

因此，我们只需要解决A'和b，您可以通过pseudoinverse来解决问题。具体而言，上述问题的形式如下：

因此，我们需要解决X，以及：

M^{+}是矩阵的伪逆。完成后，只需点击exp上的A'运算符即可获得原始A。 MATLAB具有非常高效的线性系统求解器和最小二乘求解器。具体来说，您可以使用\或ldivide运算符。您所要做的就是从M值创建x矩阵，创建y值的向量并解决您的系统问题。这很简单：

x = ...; %// Define numbers here - either row or column vectors
y = ...;
M = [ones(numel(x),1), x(:)]; %// Ensure x is a column vector
lny = log(y(:)); %// Ensure y is a column vector and take ln

X = M \ lny; %// Solve for parameters
A = exp(X(1)); %// Solve for A
b = X(2); %// Get b

因此，使用您的x和y值，这就是我得到的：

A =

    1.3882

b = 

   -11.508

如果我们绘制上述点以及符合该线的指数曲线，我们可以这样做：

xval = linspace(min(x), max(x));
yval = A*exp(b*xval);
plot(x,y,'r.',xval,yval,'b');

第一行代码定义了一堆x值，这些值跨越我们数据集的最小和最大x值。对于下一行，我们接着x值并通过指数模型运行它们。最后，我们将原始数据点以及指数曲线与上述过程中找到的参数一起绘制。这些点为红色，而线条为蓝色。

我们得到：

我认为看起来很不错！对于那些注意到的人，上面的图看起来与MATLAB生成的普通图和图窗口略有不同。该图是在Octave中生成的，因为我目前正在处理的计算机上没有MATLAB。但是，上面的代码仍然适用于MATLAB。

Answer 2

对于像我这样愚蠢的人来说，整个代码（感谢rayryeng）是：

x = [0    0.0036    0.0071    0.0107    0.0143    0.0178    0.0214    0.0250    0.0285    0.0321    0.0357    0.0392    0.0428    0.0464    0.0464];
y = [1.3985    1.3310    1.2741    1.2175    1.1694    1.1213    1.0804    1.0395    1.0043    0.9691    0.9385    0.9080    0.8809    0.7856    0.7856];

M = [ones(numel(x),1), x(:)]; %// Ensure x is a column vector
lny = log(y(:)); %// Ensure y is a column vector and take ln

X = M\lny; %// Solve for parameters
A = exp(X(1)); %// Solve for A
b = X(2); %// Get b

xval = linspace(min(x), max(x));
yval = A*exp(b*xval);
plot(x,y,'r.',xval,yval,'b');