指数曲线拟合matlab

Question

我有以下等式：

我想使用MATLAB对上述等式进行指数曲线拟合，其中y = f(u,a)。 y是我的输出，(u,a)是我的输入。我想为一组提供的数据找到系数A,B。

我知道如何通过定义状态来为简单多项式做这个。例如，如果states= (ones(size(u)), u u.^2)，这将给我L+Mu+Nu^2，其中L，M和N是回归系数。

然而，上述等式不是这种情况。我怎么能在MATLAB中做到这一点？

Answer 1

一种方法是使用log（y）相对于u²和a³：

的线性回归

假设u，a和y是相同长度的列向量：

AB = [u .^ 2, a .^ 3] \ log(y)

在此之后，AB(1)是A的拟合值，AB(2)是B的拟合值。计算使用Matlab的mldivide operator;另一种方法是使用pseudo-inverse。

这样得到的拟合值是参数的最大似然估计，假设偏离精确方程是常数 - 方差正态分布误差加到Au²+ Ba³。如果实际的偏差来源与此不同，则这些估计可能不是最佳的。

Answer 2

以@eigenchris所说的为基础，简单地采用等式两边的自然对数（MATLAB中的log）。如果我们这样做，我们实际上将log空间中的等式线性化。换句话说，给出你原来的等式：

我们得到：

然而，这不完全是多项式回归。这更像是least squares fitting分。具体来说，你要做的是给出一组y和一对(u,a)点，你将建立一个方程组并通过最小二乘法求解这个系统。换句话说，给定集合y = (y_0, y_1, y_2,...y_N)和(u,a) = ((u_0, a_0), (u_1, a_1), ..., (u_N, a_N))，其中N是您拥有的点数，您将建立您的方程组，如下所示：

这可以用矩阵形式写出：

要解决A和B，您只需找到最小二乘解。您可以看到它的形式为：

Y = AX

要解决X，我们会使用所谓的pseudoinverse。就这样：

X = A^{*} * Y

A^{*}是伪逆。这可以使用\或mldivide运算符在MATLAB中雄辩地完成。您所要做的就是构建一个y值的向量，并使用log，并构建u和a值的矩阵。因此，如果您的分数(u,a)分别存储在U和A以及y中存储的Y的值，那么您只需执行此操作：

x = [u.^2 a.^3] \ log(y);

x(1)将包含A的系数，而x(2)将包含B的系数。正如A. Donda在他的回答（我尴尬地忘记了）中所指出的那样，A和B的值是假设关于你想要适合的精确曲线的误差是通常（高斯）以恒定方差分布。这些错误也需要加以补充。如果不是这种情况，那么您获得的参数可能并不代表最佳匹配。

请参阅此维基百科页面，了解有关假设最小二乘拟合的更多详细信息：

http://en.wikipedia.org/wiki/Least_squares#Least_squares.2C_regression_analysis_and_statistics