Question

这是Cracking the Coding Interview（5 ^th edition）的问题9.6

实施算法以打印n对括号的所有有效组合
的实施例的
输入：3
输出：＆＃34;（（（））），（（）（）），（（））（），（）（（）），（）（）（）＆＃34;

这是我实现的算法（在Java中）

private static Set<String> getAllComb(int n) {
      Set<String> allPoss = new HashSet<String>();
      if(n>0) {
          if(n==1) {
              allPoss.add("()");
          } else {
              Set<String> before = getAllComb(n-1);
              for(String phrase: before) {
                  int length = phrase.length();
                  for(int start = length - 2; start>=0; start--) {
                      if(phrase.charAt(start) == '(') {
                          String phraseToConsider = phrase.substring(0, start+1) + "()" +
                               phrase.substring(start + 1);
                          if(!allPoss.contains(phraseToConsider)){
                              allPoss.add(phraseToConsider);
                          }
                      }
                  }
                  String phraseToConsider = "()" + phrase.substring(0);
                  if(!allPoss.contains(phraseToConsider)){
                      allPoss.add(phraseToConsider);
                  }
              }
          }
      }
      return allPoss;
}

这会产生正确的输出。我知道面试官（至少在亚马逊）喜欢问你解决方案的时间和空间复杂性。对于时间复杂度，我能够证明算法在具有递归关系的 O（n）中运行。我在分析空间复杂性方面遇到了麻烦。我这是一个递归解决方案，所以它至少应该是 O（n）但是在每次递归调用时，我也生成一个以n为界的集合。由于n个递归调用，总空间是 O（n）还是 O（n ²）因为设置的大小为每个递归调用n？

绑定n

Answer 1

对于时间复杂度，我能够证明算法在O（n）中以递归关系运行

这是错误的。平衡括号的序列数由Catalan numbers给出：指数多个这样的序列。你的算法不能是线性的，如果它也正确地解决问题，因为只输出指数数量的解决方案本身就是指数时间。

至于内存复杂性，您似乎在递归的每一步n - 1存储n的所有解决方案，因此内存复杂性对我来说也是指数级的，加上您创建的其他字符串和您在每个步骤中进行的递归调用，这只会增加复杂性。

您可以在不使用指数记忆的情况下解决问题：想想如何摆脱存储所有以前的序列。

Answer 2

写 n 对正确匹配的括号的方法的数量是 n 加泰罗尼亚数，它实际上呈指数增长，而不是二次方。单独输出的空间复杂度为O（2 ^ n）;请参阅the wikipedia article以快速了解加泰罗尼亚语数字。

请注意，您不是在每个深度进行一次递归调用，而是可能进行O（n）递归调用。

这个算法的空间复杂度是多少？

2 个答案: