迭代发现由三个点描述的弧上的点的算法

Question

我正在编写一个图形应用程序，需要计算并显示沿曲线弧的点列表，该点由三点描述。

让我们说我们有分（1,1），（2,4）和（5,2）。我需要一个算法，它可以给出每个x的值，从1到5落在插值弧上。

我确信这对你来说是一个简单的任务，但对我而言，这有点超出了我的数学薪酬水平。

提前致谢！

Answer 1

所以问题是如何计算由三个点C = (c1, c2)，r和P = (p1, p2) Q = (q1, q2)和半径S = (s1, s2).

这个想法非常简单。它包括意识到，根据定义，中心与所有三个点P，Q和S.

具有相同的距离

现在，与P和Q等距的所有点的集合是与中点PQ处发生的段(P+Q)/2的垂直线。同样地，与Q和S等距的所有点的集合是通过QS的{​​{1}}的垂线。因此，中心(Q+S)/2.必须是C的交点。这两行。

让我们计算这两条直线的参数方程。

为此，我们需要另外两个函数，我将调用dist(A,B)来计算点A与B和perp(A,B)之间的距离，以便对矢量{{1}进行规范化将它除以其长度（或范数）并回答该归一化向量的垂直向量（请记住，B-A的垂直是(a,b)，因为它们的内积是(-b,a)）

0

我们现在可以编写两行的参数表达式

dist((a1,a2),(b1,b2))
    Return sqrt(square(b1-a1) + square(b2-a2))

perp((a1,a2),(b1,b2))
    dist := dist((a1,a2),(b1,b2)).
    a := (b1-a1)/dist.
    b := (b2-a2)/dist.
    Return (-b,a).

请注意，两个参数都不同，因此引入了两个变量(P+Q)/2 + perp(P,Q)*t (Q+S)/2 + perp(Q,S)*u 和t。

等同这些参数表达式：

u

由两个线性方程组成，每个坐标一个，两个未知数(P+Q)/2 + perp(P,Q)*t = (Q+S)/2 + perp(Q,S)*u 和t（见下文）。这个2x2系统的解决方案给出了注入参数表达式的参数u和t的值给出了圆周的中心u。

知道C后，半径C可以计算为r

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线性方程式

r := dist(P,C).

第一个线性方程（坐标x）

(P+Q)/2 + perp(P,Q)*t = (Q+S)/2 + perp(Q,S)*u

第二个线性方程（坐标y）

(p1+q1)/2 + (p2-q2)/dist(P,Q)*t = (q1+s1)/2 + (q2-s2)/dist(Q,S)*u

线性系统（2x2）

(p2+q2)/2 + (q1-p1)/dist(P,Q)*t = (q2+s2)/2 + (s1-q1)/dist(Q,S)*u