Question

我正在从事数据结构课程，而且我不确定如何继续进行这项大O分析：

sum = 0;
for(i = 1; i < n; i++)
     for(j = 1; j < i*i; j++)
         if(j % i == 0)
             for(k = 0; k < j; k++)
                   sum++;

我最初的想法是在减少之后这是O（n ^ 3），因为最内层循环仅在j / i没有余数并且乘法规则不适用时运行。我的推理在这里是否正确？

Answer 1

让我们在这里忽略外循环一秒钟，让我们用i来分析它。

mid循环运行i^2次，每当j%i == 0调用内循环，这意味着你在i, 2i, 3i, ...,i^2运行它，并且每次运行直到相关j 1}}，这意味着运行时间的内循环总和为：

i + 2i + 3i + ... + (i-1)*i  = i(1 + 2 + ... + i-1) = i* [i*(i-1)/2]

最后的平等来自sum of arithmetic progression。
以上是O(i^3)。

对从1到n的外部循环重复此操作，您将获得O(n^4)的运行时间，因为您实际拥有：

C*1^3 + C*2^3 + ... + C*(n-1)^3 = C*(1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3) = 
= C/4 * (n^4 - 2n^3 + n^2)

最后一个等式来自sum of cubes
以上是 O(n^4) ，这是你的复杂性。