我有一个大小为lx * ly * lz的晶格三维晶格，在所有三个边上都有周期性边界条件。 我的平面对称切口是两个水平和垂直平面（斜率0和inf）加上垂直于xy平面，yz平面和xz平面的两个对角线切口（斜率-1和+1）。所以我总共有9种类型的平面，它们都通过格点，而不是它们之间。
每个切口都可以在垂直于它们的平面上的任何位置穿过。例如，垂直于xy平面切割的斜率0可以在任何一个点处通过。垂直于xy平面的斜率inf可以在任何1x点处通过。垂直于xy平面切割的斜率+1可以通过任何1x相交。垂直于xy平面切割的斜率-1可以通过任何相交。
现在给出一个位于0和（lx * ly * lz）-1之间的网格上的网站i，我想反映一下1到9之间的任意一个随机剪切c。什么是最快的算法优选地在C＆＃39;中计算反射的晶格位置。
该算法应该采用三个输入，即站点i，切割类型c和切割所经过的交叉点，介于0和1x-1或0和ly-1或0和lz-1之间，具体取决于切割并输出反射部位。
答案 0 :(得分：2)
而不是“斜坡”，我宁愿谈论这些飞机的法线。所以我理解你的问题的方式，你有
xy plane, slope 0 ⇒ normal (0, 1, 0)
xy plane, slope ∞ ⇒ normal (1, 0, 0)
xy plane, slope 1 ⇒ normal (1, -1, 0)
xy plane, slope -1 ⇒ normal (1, 1, 0)
xz plane, slope 0 ⇒ normal (0, 0, 1)
xz plane, slope ∞ ⇒ normal (1, 0, 0)
xz plane, slope 1 ⇒ normal (1, 0, -1)
xz plane, slope -1 ⇒ normal (1, 0, 1)
yz plane, slope 0 ⇒ normal (0, 0, 1)
yz plane, slope ∞ ⇒ normal (0, 1, 0)
yz plane, slope 1 ⇒ normal (0, 1, -1)
yz plane, slope -1 ⇒ normal (0, 1, 1)
因此9种飞机将对应正常方向
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1),
(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1),
(1, -1, 0), (1, 0, -1), (0, 1, -1)
对于这些方向中的每一个，您可以使用法线向量(a, b, c)并将其转换为平面方程：
a*x + b*y + c*z = d
但是d的值是可以接受的吗？对于上面的第一行，平面与其中一个坐标平面平行，事情很简单：对于(a, b, c) = (1, 0, 0)，您有0 ≤ d < lx，而其他两个类似。对于对角线平面，你的（在我看来很奇怪）拦截规则成立。如果我理解正确，(1, -1, 0)平面可以通过x轴上的任意点，再次导致0 ≤ d < lx。 (1, 1, 0)平面可以通过y轴上的任意点，因此您拥有0 ≤ d < ly。对于其他对角线，请自己计算d的界限。
所以现在你有了一个平面的方程式，并希望反映在那个平面上。 The link Woodface provided在这里基本上是正确的考虑，但你可能更喜欢这个想法的更简单的表述。首先将平面方程重写为
a*x + b*y + c*z - d = 0
如果左侧不为零，则给定的点不位于平面上。在这种情况下，您获得的值与该点与平面的距离成比例。假设a²+b²+c²=1。在那种情况下，左手侧的值确实是距平面的距离。将该数字乘以法线向量(a, b, c)，可以得到一个从平面指向相关点的向量。将数量乘以-(a, b, c)而不是获得从该点指向平面的向量，并乘以-2*(a, b, c)得到一个从该点指向其镜像的矢量。
但如果a²+b²+c²≠1怎么办？在这种情况下，等式左边的值将是实际距离的sqrt(a²+b²+c²)倍。并且您将该距离乘以一个没有单位长度但长度为sqrt(a²+b²+c²)的向量，因此您的最终结果向量总计会超过a²+b²+c²倍。所以你要做的就是按比例缩放。
总结一下：在您计算的平面(x, y, z)中反映点a*x + b*y + c*z = d
(x, y, z) - 2/(a² + b² + c²)*(a*x + b*y + c*z - d)*(a, b, c)
或用C代码编写：
int f = 2/(a*a + b*b + c*c)*(a*x + b*y + c*z - d);
x = x - f*a;
y = y - f*b;
z = y - f*z;
您可以在此使用int，因为对于普通向量，a²+b²+c²将是1或2，因此2/(a*a + b*b + c*c)将始终为整数。