Question

我试图用python解决大对称稀疏矩阵的特征值问题。我的主要关注点是结构动力学，因此我处理质量和刚度矩阵，并且通常在计算第一个“K”特征值（> 0）时进行调整。目前我已经尝试过scipy.sparse.linalg函数eigsh和lobpcg。我做了以下测试：

from pyamg.gallery import poisson

N = 300
K = 9

A = poisson((N,N), format='csr')  # <90000x90000 sparse matrix with 448800
                                  #  stored elements in CSR format>

首先我尝试了scipy.sparse.linalg.eigsh（我寻找0附近的特征值，因此：sigma = 0）：

from scipy.sparse.linalg import eigsh
W, V = eigsh(A=A, k=K, sigma=0, tol=1e-8)
%timeit -n10 eigsh(A=A, k=K, sigma=0, tol=1e-8
# Result: 10 loops, best of 3: 2.42 s per loop

结果：

W =数组（[0.00021787,0.00054466,0.00054466,0.00087145， 0.00108927， 0.00108927,0.00141606,0.00141606,0.00185164]）

接下来，我尝试了scipy.sparse.linalg.lobpcg

from scipy.sparse.linalg import lobpcg
W2, V2 = lobpcg(A, X, tol=1e-8, largest=False, maxiter=1000)

然而，整个1000次迭代（时间= 171.66秒）得到：

W2 =数组（[0.00021787,0.00054466,0.00054466,0.00087145， 0.00108927， 0.00108927,0.00141606,0.00141606,0.00185166]）

Afterwars我尝试使用预处理器来更快地解决逆迭代。我使用了pyamg.smoothed_aggregation_solver

# create the AMG hierarchy
ml = smoothed_aggregation_solver(A)

# initial approximation to the K eigenvectors
X = scipy.rand(A.shape[0], K) 

# preconditioner based on ml
M = ml.aspreconditioner()

并且在这种情况下，lobpcg收敛得更快（31次迭代）：

W3 ,V3 = lobpcg(A, X, M=M, tol=1e-8, largest=False, maxiter=1000)
%timeit -n10 eigsh(A=A, k=K, sigma=0, tol=1e-8, maxiter=1000)
# Result: 10 loops, best of 3: 4.45 s per loop

结果与eigsh相同：

W3 =数组（[0.00021787,0.00054466,0.00054466,0.00087145， 0.00108927,0.00108927,0.00141606,0.00141606,0.00185164]）

Afterwars，我也试过了一个预处理的eigsh，必须计算OPinv。然而，计算矩阵的逆矩阵会耗费大量时间并且效率低下。

所以我的问题是，如果有更快/更有效的方法来计算python中的特征问题（对于大型稀疏矩阵）？我已经阅读了一些有关petsc（petsc4py）和pysparse的内容，但尚未尝试过。

求解大对称稀疏矩阵的特征值问题

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