我正在寻找一种快速算法来找到素数有限域中单变量多项式的根。
也就是说，如果f = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn（n> 0），那么对于给定的素数p，找到满足r < p的所有f(r) = 0 mod p的算法。
我找到了Chiens搜索算法https://en.wikipedia.org/wiki/Chien_search，但我无法想象这对于大于20位的素数来说是快速的。有没有人有使用Chien的搜索算法的经验或知道更快的方法？这是否有一个sympy模块？
答案 0 :(得分：13)
正如mcdowella的评论所指出的那样，这是非常好的研究。以下是Cantor-Zassenhaus random algorithm如何处理您想要找到多项式的根的情况，而不是更一般的因子分解。
注意在具有系数mod p的多项式环中，乘积x（x-1）（x-2）...（x-p + 1）具有所有可能的根，并且等于x ^ px by { {3}}和此环中的唯一因子分解。
设定g = GCD（f，x ^ p-x）。使用Fermat's Little Theorem计算两个多项式的GCD通常很快，采用最大程度对数的多个步骤。它不要求您考虑多项式。 g在该领域具有与f相同的根，并且没有重复的因子。
由于x ^ px的特殊形式，只有两个非零项，欧几里德算法的第一步可以由Euclid's algorithm完成，在大约2 log_2（p）步骤中只涉及度数的多项式系数mod p，是f的两倍。我们可以计算x mod f，x ^ 2 mod f，x ^ 4 mod f等，然后将对应于p的二进制展开中的非零位置的项相乘以计算x ^ p mod f，最后减去x。
反复执行以下操作：在Z / p中选择随机d。使用r_d =（x + d）^（（p-1）/ 2）-1计算g的GCD，我们可以使用Euclid算法再次快速计算，使用第一步的重复平方。如果这个GCD的程度严格地在0和g的程度之间，我们发现了一个非平凡因子g，我们可以递归直到找到线性因子，因此得到g的根，从而得到f。
这有效吗？ r_d具有d小于非零平方mod p的数字。考虑g，a和b的两个不同的根，因此（x-a）和（x-b）是g的因子。如果a + d是非零平方，而b + d不是，则（xa）是g和r_d的公因子，而（xb）不是，这意味着GCD（g，r_d）是g的非平凡因子。类似地，如果b + d是非零平方而a + d不是，则（x-b）是g和r_d的公因子，而（x-a）不是。根据数论，一个案例或另一个案例接近d的可能选择的一半，这意味着在我们找到g的非平凡因子之前平均需要d的选择，实际上是一个分离（xa）来自（xb）。
答案 1 :(得分：1)
你的答案很好，但我想我找到了一个很好的方法来找到以任何数字为模的根：这种方法基于“LATTICES”。让 r ≤ R 成为 mod p 的根。我们必须找到另一个函数，例如 h（x），使 h 不大，而 r 是 h的根。 Lattice方法找到这个功能。在第一次，我们必须为格子创建多项式的基础，然后，使用“LLL”算法，我们找到一个“最短向量”，其根 r 没有模 p 。事实上，我们用这种方式消除了模数 p 。
有关更多说明，请参阅“Coppersmith D.找到小度多项式的小解。在密码学和格子中”。