Question

我需要在标题中更好地解决这个问题。我的想法是我在四个变量中有两个非线性方程，以及两个非线性不等式约束。我发现函数fmincon可能是最好的方法，因为你可以在这种情况下设置我需要的一切（请让我知道其他情况）。但是，我在实施阶段有些疑虑。下面我将揭示完整的案例，我认为它很简单，可以保持其真实形式。

我做的第一件事就是在一个单独的文件中定义目标函数。

function fcns=eqns(x,phi_b,theta_b,l_1,l_2)

fcns=[sin(theta_b)*(x(1)*x(4)-x(2)*x(3))+x(4)*sqrt(x(1)^2+x(2)^2-l_2^2)-x(2)*sqrt(x(3)^2+x(4)^2-l_1^2);
      cos(theta_b)*sin(phi_b)*(x(1)*x(4)-x(2)*x(3))+x(3)*sqrt(x(1)^2+x(2)^2-l_2^2)-x(1)*sqrt(x(3)^2+x(4)^2-l_1^2)];

然后是不等式约束，也在另一个文件中。

function [c,ceq]=nlinconst(x,phi_b,theta_b,l_1,l_2)

c=[-x(1)^2-x(2)^2+l_2^2; -x(3)^2-x(4)^2+l_1^2];
ceq=[];

下一步是在脚本中实际运行它。下面，由于目标函数需要额外的变量，我定义了一个匿名函数f。在下一行中，我为约束（匿名函数）做了同样的事情。在那之后，它非常自我解释。

f=@(x)norm(eqns(x,phi_b,theta_b,l_1,l_2));
f_c=@(x)nlinconst(x,phi_b,theta_b,l_1,l_2);

x_0=[15 14 16 18],
LB=0.5*[l_2 l_2 l_1 l_1];
UB=1.5*[l_2 l_2 l_1 l_1];

[res,fval]=fmincon(f,x_0,[],[],[],[],LB,UB,f_c),

首先要注意的是我必须使用norm转换原始目标函数，否则我会收到"User supplied objective function must return a scalar value."错误消息。那么，这是最好的方法还是有更好的方法解决这个问题？

这实际上有效，但根据我的研究（实际上来自stackoverflow的一个问题！）如果你从目标函数定义一个等式约束，你可以指导优化过程，这是有道理的。我是通过约束文件中的以下代码完成的：

ceq=eqns(x,phi_b,theta_b,l_1,l_2);

之后，我发现我可以使用deal函数并在脚本中定义约束。

c=@(x)[-x(1)^2-x(2)^2+l_2^2; -x(3)^2-x(4)^2+l_1^2];
f_c=@(x)deal(c(x),f(x));

那么，这是最好的方法吗？通过约束文件还是用这个函数？

此外，我在MATLAB的文档中发现，在这些情况下建议设置：

f=@(x)0;

由于原始目标函数已经处于等式约束。然而，优化并没有超出最初的猜测（每个解决方案的成本值已经为0），这是有道理的，但让我想知道为什么在文档中提出它（最后一节：http://www.mathworks.com/help/optim/ug/nonlinear-systems-with-constraints.html）

任何输入都会被重视，对于长文本感到抱歉，如果你还没有接受它，我想详细介绍...谢谢！

Answer 1

我相信fmincon非常适合您的问题。当然，与大多数最小化问题一样，目标函数是多变量标量函数。由于您正在处理向量函数，fmincon抱怨了这一点。

使用标准＆＃34; best＆＃34;进场？简短的回答是：这取决于。我在MATLAB中说这是norm的原因，默认情况下是欧几里得（或L2）规范，是大多数问题最自然的选择。然而，有时候，使用L1或更严格的无穷大规范来解决问题（或更具有物理意义）可能更容易。我将对规范的详尽讨论推迟到以下精湛的博客文章：https://rorasa.wordpress.com/2012/05/13/l0-norm-l1-norm-l2-norm-l-infinity-norm/

至于为什么Mathworks上的例子是按照它的方式制定的：它们正在解决一个非线性方程组 - 而不是最小化函数。他们首先使用标准方法，使用fsolve，然后他们提出了解决相同问题的替代方法。

一种方法是将非线性方程组合为具有等式约束的最小化问题。通过将f=@(x)0与fmincon一起使用，目标函数f自然已经被最小化了，在这种情况下唯一必须满足的是等式约束 - 这将是解决方案非线性方程组。确实聪明。

在MATLAB中找到具有非线性等式和不等式约束的非线性方程组的最小值

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