如何反转字符串的后缀树（找到它代表的字符串）

Question

给定一个（修改/损坏）后缀树，它在每个边缘存储当前子字符串的开头和结尾，但不存储子字符串本身，即后缀树，如下所示：

这棵树代表字母表上的字符串“banana”：{a，b，n}。

我正在寻找的算法是找到那种树所代表的字符串，对于上面的例子，我希望算法找到“banana”。 我希望在复杂的O（| string |）中使用| string |是要搜索的字符串的长度。 可以假设：

字母表的大小是常量，每个字符串都从索引1开始。

Answer 1

1. 让我们从一些多项式时间解决方案开始：

   • 让我们将字符串中的所有字符划分为等价类。

   • 我们已经知道：它是一个特殊的$符号。

   • 归纳假设：我们假设我们已经将长度为k的后缀的所有字符正确地划分为等价类。我们也可以正确地使用长度为k + 1的后缀。

   • 证明：让迭代遍历长度为i <- 1...k的所有长度，并检查长度为k的后缀和长度为i的后缀的最长公共前缀的长度是否为不是零。如果相应叶子的最低共同祖先不是树的根，则它不为零。如果我们找到了这样的后缀，我们知道它的第一个字母等于当前后缀的第一个字母。因此，我们可以将长度为k + 1的后缀的第一个字母添加到适当的等价类中。否则，它属于自己的等价类。

   • 当所有字符被分成等价类时，我们只需要为每个类分配一个唯一的符号（如果我们需要保持正确的字典顺序，我们可以检查它们中的哪一个更早。要做到这一点。 ，我们需要查看从根开始的边的顺序。

   • 时间复杂度为O(n ^ 3)（有n个就足够了，我们为其中的每一个迭代O(n)其他足够的内容，我们在O(n)中计算其lca （我假设我们在这里使用了一个天真的算法））。到目前为止，非常好。

2. 现在让我们使用几个观察来获得线性解决方案：

   • 我们真的不需要lca。我们只需要检查它不是根。因此，我们可以将所有叶子划分为基于其祖先的等价类，该祖先是根的直接子。它可以使用深度优先搜索在线性时间内完成。如果它们在同一个类中，则两个足够的最长公共前缀是非空的。

   • 我们实际上并不需要检查所有较短的时间。我们只需要在深度优先搜索顺序中检查最靠近左侧和右侧的一个。从给定的左侧和右侧找到最接近的较小数字是一个标准问题，它有一个带有堆栈的线性解决方案。

   • 就是这样：我们最多检查给定的两个其他两个，每个检查都是O(1)。我们现在有一个线性解决方案。

此解决方案使用这样的字符串确实存在的假设。如果这个假设不可行，我们可以使用这个算法构造一些​​字符串，然后使用Ukkonnen算法构建一个线性的后缀树，并检查它与给定的完全相同。