使用FFTW进行零填充FFT

Question

要在频域中插入信号，可以在时域中填充零并执行 FFT 。

假设给定向量 X 中的元素数量 N 且 Y 与 X 相同但用“ N 零点填充一边。然后以下给出相同的结果。

$$\hat{x}(k)=\sum_{n=0}^{2N-1} Y(n)e^{i2\pi k n/2N},\quad k=0,...,2N-1,$$
$$\hat{x}(k)=\sum_{n=0}^{ N-1} X(n)e^{i2\pi k n/2N},\quad k=0,...,2N-1.$$

现在，如果我们使用 FFTW 包，第一个等式需要 2N 存储空间用于输入向量，而第二个等式只需要 N 存储器空间（我不知道是否可以在现有的 FFTW 包中进行）！此外，计算复杂度从 2N ^ 2log（2N）降低到 2N ^ 2log（N）。每当我们进行 2D FFT 或 3D FFT 时，问题就更严重了。是否可以使用 FFTW 包进行第二种方法？这在MATLAB中相当容易。

Answer 1

如果x是用N填充零的2N信号，则其DFT写道：

• 如果k是偶数：

因此，偶数频率系数来自x(n)的N点离散傅里叶变换。

• 如果k是奇数：

因此，奇数频率的系数来自x(n)exp(i*M_PI*n/N)的N点离散傅里叶变换。

因此，零填充2N信号的离散傅里叶变换恢复到长度为N的信号的两个DFT，并且fftw可用于计算它们。

总计算时间为2*c*N*ln(N)，其中c为常量。预计它比直接计算DFT c*2*N*ln(2*N)更快。请记住ln(2*N)=ln(2)+ln(N)：随着N变大，与ln(N)相比，直接计算的额外工作可以忽略不计：即使维度大于<{strong>一。它不会影响复杂性。

此外，如果正确安装，FFTW非常有效，使用PC的许多功能，并且在任何情况下都很难做到这一点，即使使用了呈现的技巧。最后，如果输入信号是实数，则可以使用fftw_plan fftw_plan_dft_r2c_2d：只计算和存储傅里叶空间中一半的系数。

关于内存要求，如果内存真的不足，可以使用FFTW_IN_PLACE标志并使用相同的数组进行输入和输出。然而，它稍慢。

上述过程可以扩展到计算用（L-1）N个零点填充的N点信号的LN信号的DFT：它恢复到长度为N的L个DFT的计算。

与FFTW相比，您是否有任何参考资料显示MATLAB如何处理和优化填充信号的DFT？

编辑：关于3D案例的进一步研究：

填充3D信号x(n,m,p)的3D DFT为：

如果k_n，k_m和k_p均为：

如果k_n和k_m是偶数且k_p是奇数：

......有8个案例。

因此，填充为2Nx2Nx2N的大小为NxNxN的3D x的3d dft的计算恢复到大小为NxNxN的8 3dft的计算。 3d dft的大小是3 1d dft的组合，大小N的dft总数是3x8xNxN，而直接计算需要3x（2N）*（2N）dft大小为2N。计算时间24cN^3ln(N)对24cN^3ln(2N)：可能获得小幅增加......再次fftw很快......

然而，不是使用黑盒3d fft，而是通过在每个方向上执行1d dfts，一次计算8个大小为N的dft。

• 1d dft沿N：2例，NxN dfts =＆gt; 2cN^3ln(N)
• 沿着M的1d dft：2个案例，2NxN dfts =＆gt; 4cN^3ln(N)
• 1d dft沿P：2例，2Nx2N dfts =＆gt; 8cN^3ln(N)

因此，总计算时间预计为14cN^3ln(N)对24cN^3ln(2N)：可能获得小幅增益......再次fftw很快......

而且，计算

只需拨打exp一次：首先计算w=exp(I*M_PI/N)然后更新wn=wn*w; x(n)=x(n)*wn或使用pow，如果精确度成为问题。