多元线性方程的线性回归系数

Question

对于Zi=ai*Xi+bi*Yi，我有i = 1..30形式的多个线性方程式。 如何使用MATLAB为每个a组合计算每对回归系数值，或b和(Z,X,Y)的30个值？

我尝试过以下代码：

A=Z; B=[Xs Ys];
C = B \ A;

A是我的Z点，而B是我的X和Y点的矩阵。但是，我似乎只得到所有点的一对回归系数。 提前谢谢！

Answer 1

如果我了解您的问题表达方式，那么您所设置的内容很可能不是解决问题的正确方法。该假设假设您尝试将所有点放在一行。因此，B的每一行仅作为一个行上的一个点，您试图找到线性回归。如果你想同时解决多条线，你需要改变你的配方。

这实际上非常简单。我将假设您有30 (x,y)个点，其中每个点表示一条线的等式。您将这些设置为Xs和Ys。这些方程中的每一个的输出也在Zs中。我还假设这些是列向量，因此，您有一个系统设置：

a_i和b_i是每行的系数。您知道每行的(x,y)，您的目标是为每个对应的a和b求解。因此，您需要重新构建系统，以便解决a和b。

以矩阵形式重写该问题，可以这样做：

a_1, b_1, a_2, b_2, ...的右侧向量是您最终要解决的问题。你可以看到我们有一个Y = M*X的矩阵方程，其中M和Y是已知的，X是我们需要通过X = M\Y来解决的问题。因此，您需要将x和y值重新排列为如上所述的块矩阵。首先，我们需要找到正确的线性索引，以便我们可以将x和y值放入此矩阵中，然后使用ldivide运算符通过最小二乘法求解系统。矩阵是N x 2N矩阵，其中N是我们所拥有的方程式或约束的总数（因此在您的情况下为30）：

N = numel(Xs);
M = zeros(N, 2*N);
xind = sub2ind(size(M), 1:N, 1:2:2*N);
yind = sub2ind(size(M), 1:N, 2:2:2*N);
M(xind) = Xs;
M(yind) = Ys;

sub2ind允许您使用一行代码将多个值放入矩阵中。具体来说，sub2ind从一组行和列坐标中确定线性索引以访问矩阵。如果您还不知道，可以使用单个数字而不是一对行和列来访问矩阵中的值（和设置值）。 sub2ind允许您通过指定要在矩阵中使用相应向量访问的一组线性索引，一次在矩阵中设置多个值。

在我们的例子中，我们需要两组线性索引 - 一组用于x值，另一组用于y值。请注意，x值从第一列开始，并跳过每隔一列。 y值可以表示相同的行为，但我们从第二列开始。获得这些索引后，我们在此矩阵中设置x和y值，现在我们只需求解系数：

coeff = M \ Z;

coeff现在为2N x 1向量，如果您愿意，可以将其重新整理为矩阵：

coeff = reshape(coeff, 2, []);

现在，coeff将被塑造成每个列将为您提供每个等式的a,b对。因此，第一列表示a_1, b_1，第二列表示a_2, b_2，依此类推。 coeff的第一行是每个约束的所有a系数，而第二行是每个约束的所有b系数。