建议分析算法

Question

我最近一直在练习分析算法。我觉得我对分析非递归算法非常了解，但我不确定，并且刚刚开始全面理解递归算法。虽然，我还没有对我的方法进行正式检查，以及我一直在做的事情是否正确

要问某人是否可以查看我已经实施和分析的一些算法，看看我的理解是否正确，或者我是否完全关闭，会不会太过分。

这里：

1）

sum = 0;
for (i = 0; i < n; i++){
    for (j = 0; j < i*i; j++){
        if (j % i == 0) {
            for (k = 0; k < j; k++){
                sum++;
            }
        }
    }
}

我对这一个的分析是O（n ^ 5），原因是： Sum（i = 0到n）[Sum（j = 0到i ^ 2）[1的和（k = 0到j）]] 评估为： （1/2）（n ^ 5/5 + n ^ 4/2 + n ^ 3/3 - n / 30）+（1/2）（n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6 ）+（1/2）（n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6）+ n + 1。 因此它是O（n ^ 5）

这是否正确评估循环的总结？

三重求和。我假设if语句总是会通过更糟糕的案例复杂性。对于最坏情况，这是正确的假设吗？

2）

int tonyblair (int n, int a) {
    if (a < 12) {
        for (int i = 0; i < n; i++){
            System.out.println("*");
        }
        tonyblair(n-1, a);
    } else {
        for (int k = 0; k < 3000; k++){
            for (int j = 0; j < nk; j++){
                System.out.println("#");
            }
        }
    }
 }

我对这个算法的分析是O（无穷大），因为if语句中的无限递归，如果它被假定为真，那将是最坏的情况。虽然，对于纯粹的分析，我分析了这是不是真的并且if语句不会运行。然后我得到了O（nk）的复杂性，原因是：

总和（k = 0到3000）[Sum（j = 0到nk）为1] 然后评估为nk（3001）+ 3001.因此是O（nk），其中k由于控制循环的迭代次数而不被丢弃。

Answer 1

第1名

我无法告诉您如何推导出您的公式。通常在算法中有多个步骤时添加术语，例如预先计算数据然后从数据中查找值。相反，嵌套for循环意味着乘法。此外，最糟糕的情况是这段代码的最佳情况，因为给定n值，sum将在结尾处相同。

为了找到复杂性，我们希望找到内循环的计算次数。如果从1到n，摘要通常很容易解决，所以我稍后会从它们中删除0。如果i为0，则中间循环不会运行，如果j为0，则内循环不会运行。我们可以将代码等效地重写为：

sum = 0;
for (i = 1; i < n; i++)
{
    for (j = 1; j < i*i; j++)
    {
        if (j % i == 0) 
        {
            for (k = 0; k < j; k++)
            {
                sum++;
            }
        }
    }
}

我可以通过迫使外环从2开始让我的生活更加艰难，但我不会去。外循环现在从1到n-1。中间循环基于i的当前值运行，因此我们需要进行求和：

中间for循环总是进入（i ^ 2 - 1），j只能被i整除，共计（i - 1）次（i，i * 2，i * 3，... ，i *（i-2），i *（i-1））。有了这个，我们得到：

然后中间循环执行j次。我们求和中的j与代码中的j不同。求和中的j表示每次中间循环执行时。每次中间循环执行时，代码中的j将为(i * (number of executions so far)) = i * (the j in the summation)。因此，我们有：

我们可以将i移动到两个求和之间，因为它是内求和的常量。然后，1到n之和的公式是众所周知的：n*(n+1)/2。因为我们要去n - 1，所以我们必须减去n。这给出了：

平方和和立方总和的总和也是众所周知的。记住我们在两种情况下只求n-1，我们必须记得分别减去n ^ 3和n ^ 2，我们得到：

这显然是n ^ 4。如果我们一路解决，我们得到：

第2名

对于最后一个，实际上是O（无穷大），如果a＆lt; 12因为if语句。好吧，从技术上讲，一切都是O（无穷大），因为Big-O只提供运行时的上限。如果＆lt; 12，它也是欧米茄（无限）和theta（无限）。如果只有else运行，那么我们得到i * n的1到2999的总和：

注意从1到2999的总和是一个常数（它的4498500）是非常重要的。无论常数有多大，它仍然是常数，而不依赖于n。我们最终将它从运行时计算中抛弃。有时，当理论上快速算法具有大常数时，它实际上比理论上慢的其他算法慢。我能想到的一个例子是Chazelle's linear time triangulation algorithm。从来没有人实现它。无论如何，我们有4498500 * n。这是theta（n）：