Question

问题是这样的 -

对于作为输入给出的每个字符串，您需要告诉它作为回文的子序列的数量（不一定是不同的）。请注意，空字符串不是回文。例如，＆＃34; aab＆＃34;的回文子序列。是：

＆＃34; a＆＃34;，＆＃34; a＆＃34;，＆＃34; b＆＃34;，＆＃34; aa＆＃34;，方法返回4.

我有动态编程解决方案，以便找到最长的回文子序列，因此试图从中获取想法。无法真正得到解决方案。可能甚至不需要动态编程。建议请。

还有一个问题。当条件＆＃34;不一定是不同的＆＃34;被移除，我们仍然可以计算而不实际生成所有回文子序列吗？

Answer 1

[编辑19/10/2015：匿名审稿人指出公式存在问题，这促使我注意到另一个甚至更大的错误......现在已修复。]

我现在看到如何将解决方案时间缩短到 O（n ^ 2）。我会留下我的另一个答案，以防它作为这个的踏脚石有趣。注意：这也是（也）只是问题第一部分的解决方案;我认为没有办法只有效地计算不同的回文子序列（PS）。

不要计算在i和j位置开始和结束的PS的数量，而是计算从开始或在之后开始并在或之前结束的数量学家称之为g（i，j）。

我们可以尝试写g（i，j）= g（i，j-1）+ g（i + 1，j）+（x [i] == x [j]）* g（i + 1，j-1）对于j> 1的情况一世。但这并不常用，因为前两个术语将重复计算任何在 i之后开始并在 j之前结束的PS。

关键的见解是要注意我们可以通过减去g（）的其他值来轻松计算在某个精确位置开始或结束的PS的数量，并且可能添加更多的值g（）重新开始以补偿重复计算。例如，从完全 i开始并在完全 j结束的PS的数量是g（i，j） - g（i + 1，j） - g（ i，j-1）+ g（i + 1，j-1）：最后一项纠正了第二项和第三项都计算所有g（i + 1，j-1）PS开始的事实在之后，在 j之前结束。

在i之后或之后开始且在j之前或之前结束的每个PS恰好是4个类别中的1个：

它在我之后开始，在j之前结束。

从i开始，到j之前结束。

从i开始，到j结束。

从i开始，到j结束。

g（i + 1，j）计算类别1或3中的所有PS，并且g（i，j-1）计算类别1或2中的所有PS，因此它们的和g（i + 1，j）+ g（i，j-1）对每个类别2或3中的所有PS进行计数，并对类别1中的所有PS进行两次计数。因为g（i + 1，j-1）仅对类别1中的所有PS进行计数，所以将其减去得到g（i + 1，j）+ g（i，j-1）-g（i + 1，j-） 1）给出类别1,2和3中PS的总数。剩余的PS是类别4中的PS。如果x [i]！= x [j]则该类别中没有PS;否则，就像在i + 1之后或之后开始并且在j-1之前或之后结束的PS一样多，即g（i + 1，j-1），加上一个额外的2字符序列x [I]×[J]。 [编辑：感谢评论者Tuxdude在这里进行了2次修复！]

有了这个，我们可以用一种方式表达g（），将二次情形从f（）变为恒定时间：

g(i, i) = 1 (i.e. when j = i) g(i, i+1) = 2 + (x[i] == x[i+1]) (i.e. 3 iff adjacent chars are identical, otherwise 2) g(i, j) = 0 when j < i (this new boundary case is needed) g(i, j) = g(i+1, j) + g(i, j-1) - g(i+1, j-1) + (x[i] == x[j])*(g(i+1, j-1)+1) when j >= i+2

最后的答案现在只是g（1，n）。

Answer 2

这是一个可怕的O（n ^ 4）解决方案：

每个回文子序列从某个位置i开始并在某个位置结束j> = i使得x [i] = x [j]，并且其“内部”（除了第一个和最后一个之外的所有字符）都是空的或x [i + 1 .. j-1]的回文子序列。

因此我们可以将f（i，j）定义为从i开始并以j> = i结束的回文子序列的数量。然后

f(i, j) = 0 if x[i] != x[j]
f(i, i) = 1 (i.e. when j = i)
f(i, j) = 1 + the sum of f(i', j') over all i < i' <= j' < j otherwise

[编辑：修正以计算长度<= 2的回文子序列！]

然后最终答案是f（i，j）在所有1＆lt; = i＆lt; = j＆lt; = n上的总和。

这个的DP是O（n ^ 4）因为有n ^ 2个表项，并且计算每个表项需要O（n ^ 2）时间。（通过利用x [i]！= x [j]暗示f（i，j）= 0的事实，可能有可能将其加速到至少O（n ^ 3）。）

Answer 3

使用DP的直观O（n ^ 3）解决方案：

让每个状态dp（i，j）表示字符串[i ... j]中回文子序列的数量那么简单的递归公式就是

for k in range i, j-1:
    if(A[j]==A[k]){
        dp(i,j) = dp(i,j) + dp(k+1,j-1);

理念很简单..添加新字符检查它是否是子序列的结束。如果在先前计算的较小子问题中存在相同的字符，则它添加范围（k + 1，j-1）中包含的子序列的数量。只需处理角落案件。添加一个作为新添加的字符也是单个字符子序列。即使范围（k + 1，j-1）中没有子序列，您仍然会得到1个长度为2的新子序列（如“aa”）。

字符串中回文子序列的总数

3 个答案: