使用fft的Matlab低通滤波器

Question

我在matlab中使用前向和后向fft实现了一个简单的低通滤波器。 它原则上有效，但最小值和最大值与原始值不同。

signal = data;
%% fourier spectrum
% number of elements in fft
NFFT = 1024;
% fft of data
Y = fft(signal,NFFT)/L;
% plot(freq_spectrum)

%% apply filter
fullw = zeros(1, numel(Y));
fullw( 1 : 20 ) = 1;
filteredData = Y.*fullw;

%% invers fft
iY = ifft(filteredData,NFFT);
% amplitude is in abs part
fY = abs(iY);
% use only the length of the original data
fY = fY(1:numel(signal));
filteredSignal = fY * NFFT; % correct maximum

clf; hold on;
plot(signal, 'g-')
plot(filteredSignal ,'b-')
hold off;

生成的图像看起来像这样

我做错了什么？如果我对两个数据进行标准化，则过滤后的信号看起来是正确的。

Answer 1

只是为了提醒自己MATLAB如何存储Y = fft(y,N)的频率内容：

• Y(1)是常量偏移量
• Y(2:N/2 + 1)是一组正频率
• Y(N/2 + 2:end)是一组负频率...（通常我们会绘制垂直轴的左）

为了制作真正的低通滤波器，我们必须保留低正频率和低负频率。

以下是使用频域中的乘法矩形滤波器执行此操作的示例，如下所示：

% make our noisy function
t = linspace(1,10,1024);
x = -(t-5).^2  + 2;
y = awgn(x,0.5); 
Y = fft(y,1024);

r = 20; % range of frequencies we want to preserve

rectangle = zeros(size(Y));
rectangle(1:r+1) = 1;               % preserve low +ve frequencies
y_half = ifft(Y.*rectangle,1024);   % +ve low-pass filtered signal
rectangle(end-r+1:end) = 1;         % preserve low -ve frequencies
y_rect = ifft(Y.*rectangle,1024);   % full low-pass filtered signal

hold on;
plot(t,y,'g--'); plot(t,x,'k','LineWidth',2); plot(t,y_half,'b','LineWidth',2); plot(t,y_rect,'r','LineWidth',2);
legend('noisy signal','true signal','+ve low-pass','full low-pass','Location','southwest')

完整的低通适配器做得更好，但你会注意到重建有点“波浪”。这是因为频域中的矩形函数乘法与convolution with a sinc function in the time domain相同。带有sinc fucntion的卷积取代了每个点，其邻居的加权平均值非常不均匀，因此产生了“波浪”效应。

高斯滤波器具有更好的低通滤波器属性，因为the fourier transform of a gaussian is a gaussian。高斯衰减很好地归零，因此在卷积期间它不包括加权平均中的远邻。以下是高斯滤波器保留正负频率的示例：

gauss = zeros(size(Y));
sigma = 8;                           % just a guess for a range of ~20
gauss(1:r+1) = exp(-(1:r+1).^ 2 / (2 * sigma ^ 2));  % +ve frequencies
gauss(end-r+1:end) = fliplr(gauss(2:r+1));           % -ve frequencies
y_gauss = ifft(Y.*gauss,1024);

hold on;
plot(t,x,'k','LineWidth',2); plot(t,y_rect,'r','LineWidth',2); plot(t,y_gauss,'c','LineWidth',2);
legend('true signal','full low-pass','gaussian','Location','southwest')

正如你所看到的，重建方式要好得多。