马尔可夫链中两个过渡的概率

Question

我已经掌握了马尔可夫模型的过渡矩阵，但对于如何进行一系列过渡仍然有点不清楚。考虑页面底部的马尔可夫链，S = Sunny，C =多云，R =多雨。

我在MATLAB中设置了这个转换矩阵

A = [0.1 0.2 0.7; 0.4 0.3 0.3; 0.2 0.6 0.2]

    0.1000    0.2000    0.7000
    0.4000    0.3000    0.3000
    0.2000    0.6000    0.2000

现在为了查找转换的概率，为方便起见我做了以下变量

>> S = 1
>> R = 2
>> C = 3

您可以通过从表中查找来查找单次转换的概率，例如从今天的Rainy到明天的Sunny将是

>> A(R,S)
ans = 0.4000

问题

我很难理解如何进行一系列过渡。例如，如果今天是晴天，那么从现在开始的两天是多云的几率是多少？ （所以基本上是两个过渡）我在想

>> A(S,S)*A(S,C) + A(S,R)*A(R,C) + A(S,C)*A(C,C)
ans = 0.2700

基本上我发现所有可能的转换都可能最终来自Sunny的Cloudy。虽然繁琐，这是正确的方法吗？

Answer 1

您编码A(S,S)*A(S,C) + A(S,R)*A(R,C) + A(S,C)*A(C,C)（即对所有可能的中间状态求和，或Chapman-Kolmogorov equation）只是矩阵乘法：

A(S,:)*A(:,C)

通常，A2 = A^2给出所有此类双重转换的概率，An = A^n是n - 阶转换的概率（例如参见here）。所以A2(S,C)是今天是阴天的两天后的概率，如果今天天气晴朗的话。