Matlab：求解对数方程

Question

我想要针对a解决以下等式：

x = (a-b-c+d)/log((a-b)/(c-d))

其中x，b，c和d已知。我使用Wolfram Alpha来解决方程，结果是：

a = b-x*W(-((c-d)*exp(d/x-c/x))/x)

其中W是产品日志功能（Lambert W功能）。在Wolfram Alpha page可能更容易看到它。

我使用了Matlab的内置lambertW函数来解决这个问题。这很慢，是我脚本的瓶颈。还有另一种更快的方法吗？它不必精确到小数点后十位。

编辑： 我不知道这个等式很难解决。这是一张说明我的问题的图片。温度b-d加LMTD在每个时间步长中变化，但是已知。热量从红线（CO2）转移到蓝线（水）。我需要找到温度＆＃34; a＆＃34;。我不知道这太难计算了！ ：P

Answer 1

另一种选择是基于更简单的Wright ω function：

a = b - x.*wrightOmega(log(-(c-d)./x) - (c-d)./x);

前提是d ~= c + x.*wrightOmega(log(-(c-d)./x) - (c-d)./x)（即d ~= c+b-a，x在这种情况下为0/0。这相当于Lambert W function， W ₀ 的主要分支，我认为这是您想要的解决方案分支。

与lambertW一样，Symbolic Math工具箱中有一个wrightOmega函数。不幸的是，对于大量输入，这可能也会很慢。但是，您可以在GitHub上使用我的wrightOmegaq来进行复值浮点（双精度或单精度）输入。该函数更精确，完全向量化，比使用内置wrightOmega浮点输入快三到四个数量级。

对于那些感兴趣的人，wrightOmegaq基于这篇优秀论文：

  

Piers W. Lawrence，Robert M. Corless和David J. Jeffrey，“Algorithm 917: Complex Double-Precision Evaluation of the Wright omega Function，”ACM Transactions on Mathematical Software，Vol。 38，第3，第20条，第1-17页，2012年4月。

该算法超越了Cleve Moler Halley's method中使用的Lambert_W的三次收敛，并使用了四阶收敛的根寻找方法（Fritsch，Shafer，＆amp; Crowley，1973）。收敛不超过两次迭代。

另外，要使用系列扩展进一步加快Moler Lambert_W的速度，请参阅my answer at Math.StackExchange。

Answer 2

两个（可组合的）选项：

• 您的脚本已经过矢量化了吗？评估多个参数的函数。执行for i = 1:100, a(i)=lambertw(rhs(i)); end的速度比a=lambertw(rhs)慢。
• 如果您正在处理LambertW的实值分支（即您的参数位于[-1/e, inf)区间内），则可以使用 Cleve Moler提交的Lambert_W的实现 File Exchange。

Answer 3

您知道每个时间步在热交换器两侧的质量流量吗？ 如果是，则可以通过“有效性-NTU”方法（不需要任何迭代）来解决温度“ a”，而不是LMTD方法。参考：例如event