Question

我有一个我想渲染的截断椭圆。切割部分由与另一个椭圆的交点完成（想象另一个椭圆阻挡原始椭圆）。

参考下面的2个椭圆，其中t1，t2表示参数t1，t2表示我跟踪椭圆，给出点p1，p2。

enter image description here

如何使用数据结构捕获空的部分？我的初始伪代码是这样的：

for(t = 0 to 360 degrees)
{
    if(point_t intersects with ellipse)
    {
        if(P1 is not set) set t corresponding to P1 as start_t;
        else set t corresponding to P2 as end_t
    }
}

然后“截止”区域将由start_t <= t <= end_t给出。

但是，此代码仅适用于第一个图表。在第二个图中，由于“截止”区域对于该范围不连续，因为实际截止区域将表示为

0 <= t <= P1 && P2 <= t <= 360 degrees。

我应该如何编写算法来解决所有这些情况？我需要一个精确的定义（例如切断部分的t值范围），因为我需要使用这个值来解决这些截止椭圆的进一步线交叉问题。

Answer 1

如果不是真的话，你的图像意味着轴对齐的椭圆在OP

中指定它

两个椭圆的交集可以创建
- 0完全在内/外
- 1如果在单面交叉时切断
- 如果在两侧相交，则切断2次
- 完全切断是两个椭圆是相同的
交叉点
- 您需要获得所有交叉点
- 所以要么用代数/数字来解决呢
- x0+a0*cos(t0)=x1*a1*cos(t1)
- y0+b0*sin(t0)=y1*b1*sin(t1)
- 其中：x0,y0为中心，a0,b0为半轴，t0为第一个椭圆的参数
- 其中：x1,y1为中心，a1,b1为半轴，t1为第二个椭圆的参数
- 或将问题转换为行的交集
- 通过以恒定角度扫描展位椭圆
- 将每个椭圆变换为凸多边形
- 点越多，你得到的交叉越精确
- 如果线条相互叠加，则选择其共同部分的中间点
要存储哪些信息？
- 您需要间隙的参数对或其他起始端形式
- 因此，对于每个交叉点，您需要确定它是否是间隙的开始或结束
- 所以你应该有一个交叉点参数列表，最多4个点/角度（按角度排序）
你可以忽略0,1分案件
2分是最简单的情况
- 因此您的交叉角ang0,ang1位于ang0<ang1
- 所以只需检查点ang0+0.01*(ang0+ang1)是否在第二个椭圆内
- 如果是，则ang0是差距的开始，ang1结束
- 所以渲染：
- for(t=0 ;t<=ang0 ;t+=step)...
- for(t=ang1;t<=360deg;t+=step)...
- 如果没有那么它是另一种方式
- for(t=ang0;t<=ang1 ;t+=step)...
3分案例很少
- 当椭圆切割一侧而只接触另一侧
- 因此找到哪一个交叉角度在每一侧的交叉点之外并忽略它
- 所以计算dang=0.01*min(|ang1-ang0|,|ang2-ang0|,|ang2-ang1|)
- 找到ang? +/- dang在交叉点之外的触摸点
- 然后忽略它并将其余部分作为2点案例处理
4分案例
- 所以计算dang=0.01*min(|ang1-ang0|,|ang2-ang0|,|ang3-ang0|,...)
- 现在查找ang0是否是差距ang0-ang1
- 如果是渲染
- for(t=0 ;t<=ang0 ;t+=step)...
- for(t=ang1;t<=ang2 ;t+=step)...
- for(t=ang3;t<=360deg;t+=step)...
- 如果没有那么
- for(t=ang0;t<=ang1 ;t+=step)...
- for(t=ang2;t<=ang3 ;t+=step)...
相同的省略号
- 如果两个椭圆具有相同的中心，半轴和旋转
- 然后切断整个椭圆（无渲染）
统一
- 你可以将整个转换成存储非椭圆的椭圆块
- 作为一组角度对
- (start,end)角度为......

[注释]

dang可以是足够小的角度步长（必须小于最小间隙）但如果太小那么你的交叉计算可以给出误报
多边形转换甚至适用于非轴对齐的椭圆
如果您使用清扫，那么如果交叉点是间隙的开始或结束，您已经有信息，所以如果知道如何使用它就可以忽略dang
注意角度测量功能的弧度/度......
如果你想用代数方法求解交叉点并想避免超越函数，那么使用隐式椭圆方程代替

渲染时应处理结束角度交叉，例如

for (t=ang0;t<=ang1;t+=step)
 {
 if (t>=ang1) { t=ang1; e=1; } else e=0;
 ...
 if (e) break
 }

如何确定点x,y是否在轴对齐的椭圆x0,y0,a,b内？
首先通过翻译坐标系

(x0,y0)

(0,0)

所以问题更改为：(x-x0,y-y0)内的0,0,a,b点？
这很简单：
ang=atan2(y-y0,x-x0);
if ((x-x0<=a*cos(ang))&&(y-y0<=a*sin(ang))) is_inside else is_outside;
如果您有非轴对齐的椭圆，则添加旋转以匹配轴角...

Answer 2

由于两个椭圆可能最多交叉4次（因此无论如何都会产生两个截止区域），我建议您按照建议运行代码，但将所有结果区间存储在列表中。 / p>

含义：

if(point_t intersects with ellipse)为true的第一个值存储为第一个间隔的起始值。继续，直到if(point_t intersects with ellipse)为false并将其设置为结束参数。然后重复一遍。

结果是一个开始/结束值列表，您可以在其中进行迭代以进行进一步计算。此外，如果您需要每个间隔的长度，您可以在事件以0开头的情况下修改列表，以便将例如{340,20}存储为交叉间隔。

Answer 3

假设您只需要描述一个截止间隔，我建议使用（Begin，Extent）表示而不是（Begin，End）。 Extent参数是0°到360°范围内的值，对角度的跳跃不敏感。您甚至可以为其指定一个符号，以区分顺时针和逆时针遍历。

如果要描述一系列弧，也可以使用类似的技巧：您可以为每个弧提供（Begin，Extent）信息，或者包含交替的（Begin，Extent，Extent，Extent ...）边界/排除弧。

用于确定不完整椭圆的开口的代码

3 个答案: