用于保存和检索平面中的点的数据结构

Question

定义1：当且仅当x <0时，点（x，y）是控制点（x'，y'）。 x'和y＆lt; Y”。

定义2：点（x，y）由点（x'，y'）控制当且仅当x'＆lt; x和y'＆lt;收率

我正在尝试提供数据结构以支持以下操作：

• Add（x，y） - 以O（logn）复杂度向系统添加点（x，y），其中n是系统中的点数。

• 删除（x，y） - 以O（logn）复杂度从系统中移除一个点（x，y），其中n是系统中的点数。

• 分数（x，y） - 返回点数（x，y）控制数 - （x，y）控制的点数。最坏情况复杂度O（logn）。

我尝试使用多个AVL树解决它，但无法提供足够优雅的解决方案。

Answer 1

  

当且仅当x <0时，点（x，y）是控制点（x＆＃39;，y＆＃39;）。 X＆＃39;和y＆lt;   ý＆＃39;

     

点（x，y）由点（x＆＃39;，y＆＃39;）控制，当且仅当x＆＃39; ＆LT; x和   ý＆＃39; ＆LT;收率

让我们假设（x，y）是正方形的中间。 （x，y）是B平方中的控制点，由C中的点控制。

所需的输出是点数（x，y）控制减去由（x，y）控制的点数（x，y）。这是B中的点数减去C中的点数B-C（参考A，B，C，D中的点数仅为A,B,C,D）。

我们可以轻松计算A+C中的点数，这只是x＆＃39;的点数。 ＆LT; X。 同样适用于C+D（带有y＆＃39; y的点），B+D（x＆＃39;＆gt; x）。 我们将A+C加到C+D A+2C+D。 将A+B加到B+D A+2B+D。 扣除两个：A+2B+D-(A+2C+D) = 2B-2C，除以2：(2B-2C)/2 = B-C这是所需的输出。

（我假设处理1D案件很简单，没有必要解释。）

Answer 2

为了将来参考

解决方案大纲：

我们将维护两个AVL树。

• Tree_X：将按照X坐标保存点。
• Tree_Y：将保存按Y坐标排序的点。

两棵树中的每个节点都将包含以下附加数据：

1. 左子树中的叶数。
2. 右子树中的叶数。

对于点$（x，y）$，我们将定义区域A，B，C，D：

• 点（x＆＃39;，y＆＃39;）在A中，如果x＆＃39; ＆LT; x和y＆＃39; ＆GT;收率
• 如果x＆＃39;则点（x＆＃39;，y＆＃39;）在B中。 ＆GT; x和y＆＃39; ＆GT;收率
• 点（x＆＃39;，y＆＃39;）在C中，如果x＆＃39; ＆LT; x和y＆＃39; ＆LT;收率
• 点（x＆＃39;，y＆＃39;）在D中，如果x＆＃39; ＆GT; x和y＆＃39; ＆LT;收率

现在很明显得分（x，y）= | C | - | B |。 但是| A | + | C |，| B | + | D |，| A | + | B |，| C | + | D |可以很容易地从我们的两个AVL树中检索到，我们很快就会看到。 请注意[（| A | + | C | + | C | + | D |） - （| A | + | B | + | B | + | D |）] / 2 = | C | - | B |

实施所需的操作：

• 添加（x，y） - 我们将向两个AVL树添加点（x，y）。由于我们存储的附加数据仅在插入路径上受影响，并且由于插入发生在（logn）中，因此Add（x，y）的总成本为O（logn）。

• 删除（x，y） - 我们将从两个AVL树中删除点（x，y）。由于我们存储的附加数据仅在删除路径上受到影响，并且由于删除发生在（logn）中，因此Remove（x，y）的总成本为O（logn）。

• 得分（x，y） - 我将展示如何以类似的方式和相同的复杂性成本计算$ | B | + | D | $。很明显，$ | B | + | D | $是满足$ x＆＃39;的点数。 ＆GT; X $。要计算这个数字，我们将：

  1. 在AVL_X中查找x。复杂性O（logn）。
  2. 在Tree_X中向上直到根，在每一个右转，我们将总结儿子左子树中的元素数量。复杂度O（logn）。

  Remove（x，y）的总成本为O（logn）。