算法的最低界限是多少？

Question

让算法得到大小为n的未排序数组。设一个数字k<=n。该算法打印从1到k（升序）的k个最小数字。算法的下限是什么（每个k ）？

1. Omega(n)
2. Omega(k*logn)
3. Omega(n*logk)
4. Omega(n*logn)
5. ＃1，＃2都是正确的。

现在，根据我的理解，如果我们想要找到算法的下限，我们需要查看最坏情况。如果是这种情况，那么显然最坏的情况是k=n。我们知道排序数组的界限是Omega(nlogn)所以正确的答案是＃4。

不幸的是，我错了，正确答案是＃5。

为什么呢？

Answer 1

可以在O(n + klogk)中完成。

• 运行选择算法以找到k个最小元素 - O（n）
• 迭代并返回元素lower / equals k - O（n）
• 如果数组允许，可能需要进行另一次迭代 重复，但它仍然在O（n）
完成
• 最后，您需要在O(klogk)
中对这些元素进行排序

很容易看出这个解决方案是最优的 - 不能比O(klogk)因子更好，因为除了分配k = n你可以更好地排序任何数组，并且线性扫描至少是必须找到所需的要打印的元素。

Answer 2

让我们尝试线性时间：

1. 为了找到第k个最小的元素，我们必须使用＆＃34; Randomized-Select＆＃34;平均运行时间为O(n)。并使用该元素作为快速排序的枢轴。
2. 使用快速排序方法拆分array[i] <= k和array[i]>k。这需要O(n)时间
3. 取未排序的左array[i]<=k（具有k个元素）并进行计数排序，显然需要O（ k + K）
4. 最后，打印操作将采用O(k)

总时间= O(n)+O(k+K)+O(k) = O(n+k+K)

此处， k 是小于或等于K

的元素数