Question

考虑到多项式的所有根，我必须找出一种比O（n ^ 2）更快地生成系数的算法。我无法解决这个问题。我很确定我应该使用快速傅立叶变换或逆傅里叶变换的概念，但我不知道如何修改输入不是统一的第n个根。有人能指出我正确的方向吗？

Answer 1

kraskevich基本上把它钉了下来。缺少一些细节，并且适合注释字段的时间太长。以下是详细信息。

基本上，您希望将其设置为多项式乘法问题。你的输入是p1，... pN，其中pj（x）=（x-rj）。

这里的伪代码：

＆＃13;

function multiply2Poly(p1, p2)

   // here, use FFT, multiply and use IFFT back


function multiplyPoly(p[1],...p[N])
    if (N==1) return p[1]
    if (N==2) return multiply2Poly(p[1],p[2])
    else {
         return multiply2Poly(multiplyPoly(p[1],...p[N/2]),multiplyPoly(p[1+N/2],...,p[N])
    }


function getCoef(r[1],...r[N])

    return multiplyPoly((p[1]=x-r[1]),...(p[N]=x-r[N]));

＆＃13;

对于FFT部分：

观察两个多项式是否为：

p1 = a[0]+a[1] x + ...+a[n] x^n
p2 = b[0]+a[1] x + ...+a[n] x^n

然后p1 * p2 = c [0] + c [1] x + ... + c [n] x ^ n

其中C = A [x] B，其中[x] =卷积。 A =（a [0]，...，a [n]），B =（b [0]，...，b [n]）和C =（c [0]，...，c [ N]）。

然后使用FFT和卷积定理来加快速度。

C = A [x] B = IFFT {FFT {A} * FFT {B}}其中*这里只是乘法。

IFFT的运行时间= FFT的运行时间= O（n log n）乘法运行时间为n，因此总运行时间为O（n log n）。

multiplyPoly的总运行时间是：

T（N）= R（N / 2）+ T（N / 2）* 2

如上所述，R（N / 2）= O（n log n）是multiply2Poly的运行时间。

所以

T（N）= T（N / 2）* 2 + O（n log n）

现在Master定理给出O（n（log n）^ 2）

Answer 2

这是一个O（n *（log n）^ 2）解决方案：

基本情况：对于一个根a，答案只是x - a。
假设我们有一个包含多个根的列表。我们可以递归地解决列表的第一个和第二个半部分的问题，然后使用快速傅里叶变换将结果相乘。

根据Master定理，从等式T（n）= 2 * T（n / 2）+ O（n log n）得到时间复杂度，即O（n *（log n）^ 2）

给定所有根，如何在时间上比O（n ^ 2）更快地找到多项式的系数？

2 个答案: