找到给定其根的多项式的系数

Question

我正在尝试编写一个算法，在给定a(0),..., a(n-1)的值的情况下找到n, x_1, ..., x_n, a(n)，这样：

a(n)*p^n + a(n-1)*p^(n-1) + ... + a(1)*p + a(0) = a(n)(p-x_1)(p-x_2)...(p-x_n)

适用于所有真实的p。

在乘以（n）（p-x_1）（p-x_2）之后我想到使用Viete的公式来找到系数。

但事实证明，编写代码并不像我预期的那样明显。

我想只使用代码中的基础知识 - 即循环，if-s加法和乘法 - 没有现成/复杂函数。

以下是公式：

首先，我想强调一下，我只需要一个伪代码，我不关心为根和系数定义数组。这就是为什么我会写一个（n），xn。哦，如果我从i = 1而不是i = 0开始索引以便与数学符号同步，我希望它不会打扰你。为了从i = 0开始，我必须重新编写根并引入更多括号。

这是我到目前为止所提出的：

a(n-1)=0;
for(i=1; i <= n; i++){
    a(n-1) = a(n-1) + x_i;
}

a(n-1) = -a(n)*a(n-1);
a(n-2)=0;

for(i=1; i <= n; i++){ 
    for(j=i; j <= n; j++){
        a(n-2) = a(n-2)+ x_i * x_j;
    }
}

a(n-2) = -a(n)*a(n-2);
a(n-3)=0;

for(i=1; i <= n; i++){
    for(j=i; j <= n; j++){
        for(k=j; k <= n; k++){
            a(n-3) = a(n-3)+ x_i * x_j * x_k;
        }
    }
}

a(n-3) = a(n)*a(n-3);

...

a(0)=1;
for(i=1; i<=n; i++){
    a(0) = a(0) * x_i;
}
if(n%2 == 0) a(0) = a(n) * a(0);
else a(0) = -a(n) * a(0);

正如您所看到的，它看起来并不好。

我想将所有这些循环链接到一个循环中，因为如果没有我无法编写完整的代码，我就无法填补固定j的（0）和（n-j）之间的空白。

你可以帮帮我吗？

这就是我所拥有的，基于Nico Schertler的回答：

for(i=1; i<=n; i++)
{a(i)=1; 
for(j=1; j <= n; j++)
{b(i)= clone( a(i) );
a(i) = a(i-1);
b(i) = x_j * b(i);
c(i) = a(i) - b(i);
}
}

如果我们写了

，它会是一样的吗？

for(i=1; i<=n; i++)
{a(i)=1; b(i)=1;
for(j=1; j <= n; j++)
{t = a(i) ;
a(i) = a(i-1);
b(i) = x_j * t;
c(i) = a(i) - b(i);
}
}

（这就是我们如何通过将a [i]的值保存在某个变量t中来交换数组的两个元素。）

Answer 1

您可以逐步创建多项式。

从p = 1开始。即a(0) = 1。

要添加根，必须将当前多项式乘以x - x_i。这是：

p * (x - x_i) = p * x - p * x_i

所以你需要支持三个操作：

1。乘以x

这很简单。只需将所有系数向左移动一个。即。

a(i    ) := a(i - 1)
a(i - 1) := a(i - 2)
...
a(1    ) := a(0)
a(0    ) := 0

2。乘以标量

这同样简单。将每个系数乘以：

a(i    ) *= s
a(i - 1) *= s
...

3。减法

只需减去相应的系数：

c(i    ) = a(i    ) - b(i    )
c(i - 1) = a(i - 1) - b(i - 1)
...

共

按root添加root。首先，克隆当前的多项式。然后，执行上述操作：

p := 1
for each root r
    p' = clone(p)
    multiply p with x
    multiply p' with r
    p := p - p'
next

Answer 2

用于此目的的c＃中的静态函数。 x ^ 4-11x ^ 3 + 44x ^ 2-76x + 48的根是{2,2,3,4}并给出了参数

 roots = new Complex[4] {2, 2, 3, 4}

此函数返回[48，-76,44，-11,1]

public static double[] FromRoots(Complex[] roots)
{
   int N = roots.Length;
   Complex[] coefs = new Complex[N + 1];
   coefs[0] = -roots[0];
   coefs[1] = 1.0;

   for (int k = 2; k <= N; k++)
   {
       coefs[k] = 1.0;
       for (int i = k - 2; i >= 0; i--)
       {
           coefs[i + 1] = coefs[i] - roots[k - 1] * coefs[i + 1];
       }
       coefs[0] *= -roots[k - 1];

       if (Math.IEEERemainder(k, 2) == 1)
           coefs[k] = -coefs[k];
    }

        double[] realCoefs = new double[N + 1];
        for (int i = 0; i < N + 1; i++)
            realCoefs[i] = coefs[i].Real; // Not sure about this part!

        return realCoefs;
    }