合并排序随机拆分

Question

在Mergesort算法中，不是将数组拆分成相等的一半，而是尝试在每次调用中从随机点拆分数组，我想计算这个算法的平均时间？

我们的笔记将其计算为正常的合并排序。任何正式的想法？

Answer 1

以下是时间复杂度为O(n log n)的证明（它不是很正式）。

1. 如果最大部分的大小最多为初始子阵列的3/4，那么让我们调用分裂“好”（它看起来是这样的：bad bad good good good good bad bad表示具有8个元素的数组）。分裂为好的概率是1/2。这意味着在两个分裂中我们期望一个两个“好”。

2. 让我们绘制一个递归合并排序调用树：

       [a_1, a_2, a_3, ..., a_n]    --- level 1
            /             \
   [a_1, ..., a_k]   [a_k + 1, a_n] --- level 2
       /    \            /  \
   ...                              --- level 3
   
                                    ...
   
                                    --- level m   
   

   很明显，每个级别最多有n个元素，因此时间复杂度为O(n * m)。

3. 但是1）。表示级别数为2 * log(n, 4 / 3)，其中log(a, b)是a基数b的对数，即O(log n)。

4. 因此，时间复杂度为O(n * log n)。

Answer 2

我假设您正在谈论递归合并排序。

在标准合并排序中，您将阵列分割在中点，因此您最终会在每个级别（大多数）使用相同大小的子阵列。但是如果你在其他地方分裂，那么除了在病态情况下，你仍然会得到几乎相同数量的子阵列。

以这种方式看待：标准合并排序的分而治之的方法导致log n＆＃34;等级＆＃34;排序，每个级别包含所有n个项目。您可以在每个级别进行n次比较以对子阵列进行排序。那是n log n来自的地方。

如果您随机拆分阵列，那么您必须拥有更多级别，但并非所有级别都处于所有级别。也就是说，较小的子阵列在较长的子阵列之前产生单项阵列。因此，并非所有项目都在算法的所有级别进行比较。这意味着某些项目的比较频率高于其他项目，但平均，每个项目的比较时间为log n次。

所以你真正要问的是，给定N个分成k个排序数组的项目总数，如果每个k个数组的长度相同，而不是k个数组是不同的长度。

答案是否定的。无论单个数组的长度如何，合并k个排序数组中的N个项都需要相同的时间。有关示例，请参阅How to sort K sorted arrays, with MERGE SORT。

所以问题的答案是，使用随机拆分进行递归合并排序的平均情况（以及最好的情况）将是O（n log n），堆栈空间使用情况O（log n）。最坏的情况，只有当你的随机拆分总是将数组拆分成一个包含单个项的子数组，而另一个包含剩余部分时，才需要O（n）堆栈空间，但仍然只有O（n log n）时间。

请注意，如果使用迭代合并排序，则时间和空间使用不会有渐近的差异。