我在算法书中得到了以下问题：
假设实现了合并排序，以便在随机位置拆分文件，而不是恰好在中间。这种方法可以使用多少次比较来平均排序n个元素？
感谢。
答案 0 :(得分：2)
为了引导您找到答案，请考虑以下更具体的问题：
假设分割始终为10％，或25％，或75％，或90％。在每种情况下：对递归深度的影响是什么？每个递归级别需要进行多少次比较？
答案 1 :(得分：0)
我部分同意@Armen，他们应该具有可比性。
但是：考虑一下它们在中间分裂的情况。要合并两个长度n的列表，我们需要2*n - 1个比较（有时候会更少，但为了简单起见，我们会认为它是固定的），每个都会生成下一个值。合并会有log2(n)级，这为我们提供了约n*log2(n)次比较。
现在考虑随机拆分案例：将长度为n1的列表与长度为n2的列表合并所需的最大合并次数为n1 + n2 - 1。然而，平均数将接近它，因为即使是最不幸的分裂1和n-1，我们也需要平均n/2次比较。因此，我们可以认为每个级别的合并成本与偶数情况相同。
不同之处在于，在随机的情况下，级别的数量会更大，我们可以认为下一级n将是max(n1, n2)而不是n/2。 max(n1, n2) 3*n/4往往为n*log43(n) // where log43 is log in base 4/3
，这为我们提供了近似公式
n * log2(n) / log2(4/3) ~= 2.4 * n * log2(n)
给了我们
{{1}}
这个结果仍然比正确的结果大，因为我们忽略了小列表的级别会更少，但它应该足够接近。我想正确的答案是平均比较次数会加倍
答案 2 :(得分：0)
使用合并两个总长度n列表最多n次比较的事实，您可以获得2n * H_ {n - 1} <= 2n ln n的上限。分析类似于随机快速排序（见http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/academic/class/15451-s07/www/lecture_notes/lect0123.pdf）。
首先，假设我们将长度为n的列表分成2个列表L和R.我们将对R的第一个元素进行充电，以便与L的所有元素进行比较，并将L的最后一个元素与所有元素进行比较R的元素尽管这些可能不是执行的确切比较，但我们收取的比较总数是n。
这处理一个级别的递归，但其余的呢？我们继续只关注R的第一个元素和L的每个元素之间在所有递归级别上发生的“从右到左”的比较（通过对称性，这将是实际预期总数的一半）。将第j个元素与第i个元素进行比较的概率是1 /（j-i），其中j> 1。一世。为了看到这一点，请注意，当元素j是从集合{i + 1，...，j}中选择作为“分裂元素”的第一个元素时，元素j与元素i完全比较。也就是说，一旦它们所在的列表被分割为{i + 1，...，j}中的某个元素，则元素i和j被分成两个列表，并且元素j被收费用于与i进行比较时element j是从这个集合中选择的元素。
因此，涉及j的预期比较总数最多为H_n（即，1 + 1/2 + 1/3 ......，其中项的数量最多为n-1）。对所有可能的j求和得到n * H_ {n-1}。这仅计算“从右到左”的比较，因此最终上限为2n * H_ {n - 1}。