Question

我有一个递归函数，它取一个点{x,y}并以递归方式计算序列中的下一个点。

看起来有点像这样：

var DECAY = 0.75;
var LENGTH = 150;
var ANGLE = 0.52;

getNextPoint(0, 0, ANGLE, LENGTH);

function getNextPoint (x, y, a, l) {

    l *= DECAY;
    a += ANGLE; 

    var x1 = x - Math.cos(a) * l;
    var y1 = y - Math.sin(a) * l;

    //We now have 2 points, draw lines etc.

    getNextPoint(x1, y1, a, l); 
}

如何在给定已知迭代的情况下计算一个点（或两个连续点）？

我知道给定迭代的角度和长度值可以通过以下方式很容易地计算出来：

var a = ANGLE * iteration;
var l = LENGTH * Math.pow(DECAY, iteration);

但是我仍然需要知道iteration - 1点的位置以应用这些值？

Answer 1

将此视为复数。 z = x + i*y是你的观点。 b = cos(a)*l + i*sin(a)*l是一些参数，c = cos(ANGLE)*DECAY + i*sin(ANGLE)*DECAY是常量。

最初您有z0 = 0和b0 = c*LENGTH/DECAY。在每次递归中你做

b(k+1) = b(k)*c
z(k+1) = z(k) - b

所以你有

b1 = b0*c  = c^2*LENGTH/DECAY
z1 = z0-b1 = -b1 = -c^2*LENGTH/DECAY
b2 = b1*c  = c^3*LENGTH/DECAY
z2 = z1-b2 = -(c^2+c^3)*LENGTH/DECAY
⋮
zn = -(c^2+c^3+⋯+c^(n+1))*LENGTH/DECAY

如果你ask Wolfram Alpha，它会告诉你

c^2+c^3+⋯+c^(n+1) = c^2*(c^n - 1)/(c - 1)

如果乘以复共轭，则可以使分母成为现实。然后你可以将整个事物变回实数的公式。所以让我们写一下

c = cr + i*ci        cr = cos(ANGLE)*DECAY  ci = sin(ANGLE)*DECAY
d = c^n = dr + i*di  dr = cos(n*ANGLE)*pow(DECAY, n)  di = …

然后我们

  c^2*(d - 1)*(cr - i*ci - 1)/((cr + i*ci - 1)*(cr - i*ci - 1))
= ((cr + i*ci)*(cr + i*ci)*(dr + i*di - 1)*(cr - i*ci - 1)) /
  ((cr - 1)*(cr - 1)*ci*ci)
= ((cr^3*dr + cr*ci^2*dr - cr^2*ci*di - ci^3*di - cr^3 - cr*ci^2
    - cr^2*dr + ci^2*dr + 2*cr*ci*di + cr^2 - ci^2) +
   (cr^2*ci*dr + ci^3*dr + cr^3*di + cr*ci^2*di - cr^2*ci - ci^3
    - 2*cr*ci*dr - cr^2*di + ci^2*di + 2*cr*ci))/((cr - 1)*(cr - 1)*ci*ci)

xn = -(cr^3*dr + cr*ci^2*dr - cr^2*ci*di - ci^3*di - cr^3 - cr*ci^2
       - cr^2*dr + ci^2*dr + 2*cr*ci*di + cr^2 - ci^2) /
      ((cr - 1)*(cr - 1)*ci*ci) * LENGTH / DECAY
yn = -(cr^2*ci*dr + ci^3*dr + cr^3*di + cr*ci^2*di - cr^2*ci - ci^3
       - 2*cr*ci*dr - cr^2*di + ci^2*di + 2*cr*ci) /
      ((cr - 1)*(cr - 1)*ci*ci) * LENGTH / DECAY

分子的扩展来自我的CAS;很可能你可以把它写得更短一点，但我不想手动将这四个术语加倍来试试。

以下是一个展示所有这些内容的工作示例：

var ctxt = document.getElementById("MvG1").getContext("2d");
var sin = Math.sin, cos = Math.cos, pow = Math.pow;

var DECAY = 0.75;
var LENGTH = 150;
var ANGLE = 0.52;

var cr = cos(ANGLE)*DECAY, ci = sin(ANGLE)*DECAY;
var cr2 = cr*cr, ci2 = ci*ci, cr3 = cr2*cr, ci3 = ci2*ci;
var f = - LENGTH / DECAY / ((cr - 1)*(cr - 1)*ci*ci)

ctxt.beginPath();
ctxt.moveTo(100,450);

for (var n = 0; n < 20; ++n) {
  var da = pow(DECAY, n), dr = cos(n*ANGLE)*da, di = sin(n*ANGLE)*da;
  var xn, yn;
  xn = (cr3*dr + cr*ci2*dr - cr2*ci*di - ci3*di - cr3 - cr*ci2
        - cr2*dr + ci2*dr + 2*cr*ci*di + cr2 - ci2)*f;
  yn = (cr2*ci*dr + ci3*dr + cr3*di + cr*ci2*di - cr2*ci - ci3
        - 2*cr*ci*dr - cr2*di + ci2*di + 2*cr*ci)*f;
  console.log([xn,yn]);
  ctxt.lineTo(0.1*xn + 100, 0.1*yn + 450);
}

ctxt.stroke();

<canvas id="MvG1" width="300" height="500"></canvas>

迭代与递归：按已知迭代的顺序计算点位置

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