Question

如何解决递归序列a（n）= - a（n-1）+ n-1？我尝试了向前和向后的迭代，但是没有能够获得（n）的显式解决方案。

Answer 1

您的第一步应该是写出结果表

f(n)=x

n | x
-----
0 | 7
1 | -7     (-7 + 1 - 1)
2 | 8      ( 7 + 2 - 1)
3 | -6     (-8 + 3 - 1)
4 | 9      ( 6 + 4 - 1)
5 | -5     (-9 + 5 - 1)
6 | 10     ( 5 + 6 - 1)
7 | -4     (-10 + 7 - 1)
8 | 11     ( 4 + 8 - 1)
9 | -3     (-11 + 9 - 1)

你应该看到一种模式出现。每对解决方案[(0, 1), (2, 3), (4, 5), ...]的差异为14，从(7, -7)开始，每两个点n递增一个。我们可以概括一下：

f(0) = 7
f(n) = 7 + k - 14 * b
  where k is the increment value (each 1 k per 2 n)
        b is 1 when n is odd, else 0.

现在我们只需要根据k定义b和n。 k不应该太难，让我们看看：

n | k
0 | 0
1 | 0
2 | 1
3 | 1

这会让你想起什么吗？这是一个内在的div2。

7 + (n // 2) - 14 * b

现在为b

n | b
0 | 0
1 | 1
2 | 0
3 | 1

对我来说看起来像mod 2！模数是除法问题的剩余部分，是检查数字是偶数还是奇数的好方法。我们也在寻找简单的模数，因为当b==1为奇数时我们需要n，反之亦然。

f(0) = 7
f(n) = 7 + (n // 2) - 14 * (n%2)
  where (//) is the floor division function
        (%) is the modulo function

现在我们可以把它们放在一个函数中。在Go中这是：

func f(n int) int {
    return 7 + n/2 - 14 * (n % 2)
}

在Python中它是

def f(n):
    return 7 + n//2 - 14 * (n%2)

在Haskell，我们已经

了

f :: Int -> Int
f n = 7 + n `div` 2 - 14 * (n `mod` 2)

或者，因为Haskell非常好地实现递归，所以简单地......

f :: Int -> Int f 0 = 7 f n = f (n-1) + n - 1

递归序列的迭代方法

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