使用SciPy解决Lotka-Volterra模型

Question

我有以下Lotka-Volterra模型

dN1 / dt = N1（1-N1-0.7N2）

dN2 / dt = N2（1-N2-0.3N1）

其中N旁边的1和2是下标。

我想用SciPy来解决这个问题并将结果可视化。我想用y轴上的N2和N1上的N1绘制一个图。如果在第一个等式中将N1设置为零，则得到N2 = 1 / 0.7，如果在第二个等式中将N2设置为零，则得到N1 = 0.3 / 1。这两条线假设相交。我如何在Python中执行此操作？

我在线阅读了tutorial（幻灯片6到16）。这是我到目前为止所做的。

import numpy as np
from scipy import integrate
import matplotlib.pyplot as plt

def derivN1(y,t):
    yprime=np.array([1-0.7y[0]])
    return yprime

def derivN2(y,t):
    yprime=np.array([1-0.3y[0]])
    return yprime

start=0
end=1
numsteps=1000
time=np.linspace(start,end,numsteps)
y0=np.array([10])

yN1=integrate.odeint(derivN1,y0,time)
yN2=integrate.odeint(derivN2,y0,time)

plt.plot(time,yN1[:])
plt.plot(time,yN2[:])

但情节不正确。更新：我认为我使用了错误的方法。我正在网上阅读另一个tutorial。我会更多地解决这个问题。在此期间，如果有人知道如何解决它，请告诉我。

Answer 1

@WarrenWeckesser发表的评论非常好，你应该从那里开始。我只是试着强调隐式情节和显性情节之间的差异。

首先，设置：

import numpy as np
from scipy import integrate
import matplotlib.pyplot as plt

time=np.linspace(0,15,5*1024)

def derivN(N, t):
    """Return the derivative of the vector N, which represents
    the tuple (N1, N2). """

    N1, N2  = N
    return np.array([N1*(1 - N1 - .7*N2), N2*(1 - N2 - .3*N1)])

def coupled(time, init, ax):
    """Visualize the system of coupled equations, by passing a timerange and
    initial conditions for the coupled equations.

    The initical condition is the value that (N1, N2) will assume at the first
    timestep. """

    N = integrate.odeint(derivN, init, time)
    ax[0].plot(N[:,0], N[:,1], label='[{:.1f}, {:.1f}]'.format(*init))  # plots N2 vs N1, with time as an implicit parameter
    l1, = ax[1].plot(time, N[:,0], label='[{:.1f}, {:.1f}]'.format(*init))
    ax[1].plot(time, N[:,1], color=l1.get_color())

重要的是要意识到你的方程是耦合的，你应该向odeint提出一个返回耦合方程导数的函数。由于你有2个方程式，你需要返回一个长度为2的数组，每个项目代表传入变量的导数（在本例中是数组N(t) = [N1(t), N2(t)]）。

然后你可以根据N1和N2的不同初始条件绘制它：

fh, ax = plt.subplots(1,2)
coupled(time, [.3, 1/.7], ax)
coupled(time, [.4, 1/.7], ax)
coupled(time, [1/.7, .3], ax)
coupled(time, [.5, .5], ax)
coupled(time, [.1, .1], ax)
ax[0].legend()
ax[1].legend()
ax[0].set_xlabel('N1')
ax[0].set_ylabel('N2')
ax[1].set_xlabel('time')
ax[1].set_ylabel(r'$N_i$')
ax[0].set_title('implicit')
ax[1].set_title('explicit (i.e. vs independant variable time)')
plt.show()

您会注意到N1和N2都会演变为某个最终值，但两个值都不同。对于给定的方程，隐式图中的曲线不相交。