为什么正常的重复乘法算法效率不高？

Question

作为问题，我不明白为什么我们需要一些算法，如指数通过平方或模幂运算来计算数字的幂。

例如，我有一个重复的乘法算法，如下所示：

def expt_mul(a, n):
    r = 1
    for i in xrange(n):
        r *= a
    return r

a乘以n次，所以复杂度为O（n），为什么效率不高？

Answer 1

在加密中，例如，通常进行取幂，其中指数可以是2 ¹⁰⁰ 或更多的数量级。假设您每秒可以进行10次 ¹⁰ 次乘法，那么您需要的是需要大约10 ²⁰ 秒的东西。用这种方式表达，你可能会耸耸肩说“那又怎么样？”，让我们把它转换成年份：10 ²⁰ 秒/ 3600秒/小时/ 24小时/天/ 365.25天/年/ 14E9年/当前宇宙年龄=＆gt;超过现在宇宙年龄的226倍！与对数时间算法进行对比，该算法将在几百次操作中进行2 ¹⁰⁰ 取幂 - 几乎可以从您的角度出发。

Answer 2

某些算法需要将数字提升到非常大的功率。特别是考虑加密算法，例如Diffie-Hellman key exchange。

虽然您的算法可能适用于大多数日常任务，但当您处理非常大的指数时，使用它变得不可行，因此使用平方取幂。

  

    

为什么我们需要通过平方或模幂运算等指数算法来计算数字的幂。

  

请注意，通过平方取幂并不能实现与模幂运算相同的功能。第一种是将实体提升到某个整数幂的有效算法，而后者是计算(a^b) modulo c形式的表达式的方法，其中用于取幂的算法并不特别相关。