Question

我有一个等式：

x + y = x | y

如何解决这个等式？我需要找到方程所适用的第k个最小正整数y。也许有任何算法？我在哪里可以读到它？因为我只是试图像这样解决它（在Pascal中）：

uses crt;
var x,y,k,count:integer;

开始 readln（X，K）; 计数：= 0;

for y:=1 to 10000 do
    if((x+y) = (x or y)) then 
    begin
        inc(count);
        if(count = k) then
        begin
            WriteLn('y= ',y); 
            break;
        end;
    end;

但代码很慢！

提前致谢！

Answer 1

可以通过在单个位值上对+和|进行简单观察来解决此等式：

如果两个值均为0，则两个操作都会生成0，
当值为1和0或0和1时，两个操作都会产生1，
如果两个值均为1，则结果不同;另外，+产生一个“进位”，它会改变相邻位。

由于您正在寻找x + y和x | y组合的相等性，因此您需要检查的是两个数字中都没有设置为1的位。换句话说，任何一对x, y使得x & y == 0会使你的方程成立，而任何一对x & y != 0都会使你的方程变为假。

为了查找给定k等式所适用的y最小x，您可以尝试y的所有值，递减k每次找到x & y == 0时。 k达到零后，打印当前值y。

Answer 2

解决方案的总数是x和y值的可能组合总数的3/4。这是因为只要x + y内没有进位，你的方程就会得到满足。因此，对于每个位，相应的x和y位00,01和10的三个组合不产生进位，只有11个产生进位。

Answer 3

我知道有一个公认的解决方案，但是有一种更快的方法来找到这个解决方案所持有的第k个最小整数，而不是像它推荐的那样强制解决方案。

由于您提到您的原始代码（使用此方法）太慢，我认为您想要一个具有 O（整数类型中的位）运行时复杂性的解决方案 。有了它，我可以在我的i7上大约1/10秒内为x = 1234567890生成第一个500000解决方案（所有这些，而不仅仅是500000）（将输出重定向到/dev/null，否则成为瓶颈），虽然这当然比用于有用的基准测试的时间更少，并且能够以大致相同的速度生成每个个体，而计算y在这个例子中，蛮力方法中的第500000个解决方案将意味着检查超过5亿个数字。

关键的洞察力是，解决给定x + y = x | y的等式x的仅数字是那些具有{{1}中的位子集的数字设置。因此，这成为找到第k个最小的这样的子集的问题，并且可以通过二进制搜索来完成 - 这使得O（位）复杂度成为可能。

换句话说，知道在解决方案中可以使用哪些位使我们能够从最高位向下构建第k个解决方案，因为在第i个解决方案中设置了第n个最低位（可以使用的位）（在它尚未设置）生成（i + 2 ^n-1）解决方案。这意味着我们可以遍历可用位，决定是否在我们当前拥有的解决方案中设置它将生成序数大于k的解决方案，并根据它设置或不设置。

代码是C ++，因为问题标记为C ++，我比Pascal更喜欢它。

~x

Answer 4

最简单的答案是否定：

unsigned y = ~x;

因为(x & ~x) == 0。

要获得k-th，您应该将k的位映射到y的1位。这将只执行32（或使用x64时为64）步骤来完成。

unsigned find(unsigned y, unsigned k)
{
    int i = 0, j = 0;
    unsigned result = 0;
    for (i = 0; i < sizeof(unsigned)*8; ++i)
    {
        if (y & (1 << i))
        {
            if (k & (1 << j))
                result |= y & (1 << i);
            ++j;
            if (k < (1 << j))
                break; //we used all bits of k
        }
        if (y < (1 << i))
            break; //we used all 1-bits of y
    }
    return result;
}

可视化：

y:     110010011
k:         11001
       11  0  01 //we skip some position
r:     110000001

要获取拳头k数字列表，您可以循环播放：

for (unsigned i = 1; i <= k; ++i)
    std::cout << find(~x, i) << std::endl;

求解位方程

4 个答案: