如何在平面上的4个随机放置的点之间连接一条线，使得线不会交叉

Question

平原上有4个坐标点。 你需要用一条线连接它们。线不能越过自己。

你的策略是什么？

见图片

我的第一个直觉是将点组织为＆＃34;左上角＆＃34;，＆＃34;右上角＆＃34;，＆＃34;左下角＆＃34; ＆＃34;右下角＆＃34;并继续连接它们，使左上角到左下角，左下角到右下角，右下角到右上角，右上角连接到左上角。

这在大多数情况下有效，但并非全部。有更好的策略吗？

谢谢大家。

Answer 1

取三个点并形成一个顺时针三角形（将面积计算为两边的叉积 - 如果为负，则交换两个顶点）。

取第四点并计算它与前者的每个（定向）侧形成的三角形的面积。当你找到一个负面区域时，在这一边插入新的顶点就完成了。

事实证明，你没有找到负面区域，这意味着第四个点位于三角形内部。您可以将它插入任何一侧。

if Area(P0, P1, P2) < 0
  Swap(P0, P1)

if Area(P0, P1, P3) < 0
  Solution: P0-P3-P1-P2
else if Area(P1, P2, P3) < 0
  Solution: P1-P3-P2-P0
else if Area(P2, P0, P3) < 0
  Solution: P2-P3-P0-P1
else
  Solution: P0-P1-P2-P3

更新

您可以使用所谓的locus方法来考虑它。假设您已经形成并定向了一个三角形并希望插入第四个点。选择要插入的边缘，可以绘制插入不会导致插入的所有位置 双方交叉。

看到允许区域的形状，您会发现它是半平面与插入侧的联合，以及原始三角形。

三角形的三条支撑线将平面划分为7个区域。在任何区域内，您可以选择在侧面插入1,2或3种可能性（在图​​中，我们位于类型1的区域中）。

这种显而易见的方法向您展示您必须将第四点与三角形边（区域测试）进行比较，在最坏的情况下，您不能避免与三者进行比较。

边界的形状告诉您需要使用哪种方程式，并且区域数量暗示您将需要执行多少次测试。

Answer 2

好吧，我还没有把它比作100％肯定，但我认为以下方法可行：

• 选择一个点。
• 从彼此的点中减去它以获得3个向量到其他3个点。
• 使用点积和大小来确定每个之间的角度 一对矢量（3对3对）。
• 以最大角度将点连接到其他2个点 他们的载体之间。
• 将剩下的点也连接到这两个点。

到目前为止，我还没有想出一个失败的例子，但也许这只是因为对我来说太晚了。 ：）

快速说明：

A 点 B = ax * bx + ay * by [+ az * bz ...] = | A || <强>乙 | COS（angle_between_A_and_B）

提高计算效率：

首先，由于点积只能给出0到180度的角度，因此可以通过检查哪个余弦更小或更负，来检查哪个角度更大。这避免了需要执行反余弦。

仍然需要你为每个幅度执行sqrt函数，因为点积给你| A || B | cos（角度），你必须除以| A || B |得到余弦。但是，通过一点启发式，我们也可以避免使用sqrt。 | A |和| B |必须始终是积极的。所以：

• 如果一个点积为负数而另一个为正数，那么 负点积必须具有负余弦，而另一个具有负余弦 一个正余弦，所以负一个是一个更大的角度。

• 如果它们都是正面的，那么你可以对点积进行平方，并且 然后除以平方的幅度（x ^ 2 + y ^ 2 [+ z ^ 2 ...]没有 sqrt）。较小的结果将是较小的余弦，因此角度较大。

• 如果点积为负数，则执行相同的操作 操作，但随后较大的结果将是较小的余弦，因此角度较大。