我正在进行一项练习，似乎更多地关注如何以数学方式处理问题，而不是语法。
当数字相对较小时，这个想法很简单。给定基数和幂，程序应该对结果的数字求和。让我们用一个例子来解释我想做什么。
base 2 and power 8因而而来
2^8 = 256然后程序应该将答案的数字相加
2+5+6 = 13这就是整点，找到一个基数结果的数字总和。
现在，这是一个简单的例子，如果我移动到一个非常庞大的数字，让我们说2 ^ 1000，这几乎是不可能的，因为结果是巨大的被截断。答案必须准确。
我想也许有一种数学方法可以不同地做到这一点，不知何故将它分解成更小的块，但实际上我想不出除了以下任何关系：
2^1000 = 2^500*2^500
1000 log(2) = log(ans)
无论哪种方式，这都不会让我接近结果中的数字，我可以开始求和。
我希望我能清楚地解释清楚。
对于它的价值，我正在使用C ++（并且也给了lua一个镜头）也许我可以使用一个库，但这个数字将有302个数字位，我应该编写我的程序来处理1000的指数。我我觉得我在这里缺少一些数学技巧。
找到EDIT部分解决方案
我花了一点时间与lua试图解决这个问题，今晚我会用C ++来试一试，看看我是否得到了不同的结果。我可以找到错误的来源，但我找到了适用于大多数情况的解决方案。只是不是2 ^ 1000，而是其他一些数字非常大的指数。
所描述的解决方案和来自MooseBoys的评论。
我使用模幂运算。 lua代码如下：
-- Function purpose: Calculate modular exponent (see wiki in comment
from MooseBoys)
--
-- @param b: base
-- @param e: exponent
-- @param m: modulation
-- @result c: result
--
-- example: 2^15 = 32768
-- ModPow(2,15,10) = 8
-- ModPow(2,15,100) = 68
--
local ModPow = function(b,e,m)
local c = 1
for i = 1, e do
c = c*b%m
end
return c
end
-- Function purpose: Check uniqueness of result from last one.
-- ModPow will not return leading 0, so in the case 2^20 = 1048576
-- Sum result would equal 35 because:
-- ModPow(2,20,10^5) = 48576
-- ModPow(2,20,10^6) = 48576
--
-- Also there is an issue with rounding I am working on. Current Problem
-- Sometimes, result is 6.xxxxxxxxxx2e+294
-- and with leading 0 result is 6.xxxxxxxxxx3e+294
-- So the result does not catch there was a leading 0 since s1 and s2
-- are not equal
-- However, this fix is giving me problems (assuming mod exponent always
-- grows by an order of magnitude.. 10^(n+1) each cycle), I assumed
-- just checking exponent value is good enough
-- Now I get some strange results as outlined blow
--
-- @param s1: Current result from ModPow (as string)
-- @param s2: Last result of ModPow (as string)
-- @result bool based on whether or not this number is valid to add to the sum
local CheckUnique = function(s1,s2)
if s1:find('e') and s2:find('e') then --fix rounding?
if(s1:sub(s1:find('e'),s1:len())==s2:sub(s2:find('e'),s2:len())) then print(0) return false end
elseif (s1 == s2) then print(0) return false --fix leading 0
end
print(s1) --test
return true
end
--self explanitory
local base = 2
local exp = 1000
local mod = 10
--Counters and value holders
local sum = 0
local lval = 0
local val,valS = 1,'1'
local cycle = 1
--Know when to stop
local endval = base^exp
print(endval)
while val ~= endval do
val = ModPow(base,exp,mod^cycle)
valS = tostring(val)
if(CheckUnique(valS,lval)) then --is unique
sum = sum + tonumber(valS:sub(1,1)) --sum leading digit
end
lval = valS
cycle = cycle+1
end
print(sum)
问题在于结果。
你可以想象，打印mod循环的每个结果都应该是
Value: 1048576
6
76
576
8576
48576
0
1048576
sum: 31
当检查检测到前导0时，我在那里放了一个打印（0），否则打印c的值。你可以看到，每个第一个数字都会被添加以给出正确的总和。每个网络线应该包含前一行加上新数字，就像一个基本上不断增长的标题。
然而，我现在无法解决的问题是，当我将其扩展到大数时，让我们说我想要的解决方案。 2 ^ 1000 ..
结果:(健康的线条，接近结束）
2.6725480652012e+288
6.2672548065201e+289
8.6267366100831e+290
1.8626730674387e+291
7.186267401715e+292
0
6.0718626734093e+294
8.6071862673409e+295
0
5.0860718626736e+297
1.5086071862673e+298
7.1508607186267e+299
例如，最后一行与列出列表中倒退的第一个数字相同：
7.1508607186267e+299
7 15086071862
很兴奋，我发现答案是错误的。我仔细观察了这些线条，发现了这些不健康的线条：
9.18229858679e+069
7.5447775000848e+070
8.8906306939456e+069
4.1746958410049e+072
5.0621122825342e+073
4.1602034907325e+074
1.9248790609684e+075 -- no such order 454879 but have 924879?
....
8.3104764719996e+086
3.8310476472e+087
4.6735451839797e+088
8.0281504870817e+089
3.0808317990698e+090
9.0430240225156e+091 --no such order 938438...?
似乎有几个区域会发生这种情况，而且只有200岁以上的指数..我用100检查它是完美的。注意到200中的错误，如
2.9937827928353e+018
0
2.0299378279284e+020
2.2029937827928e+021
7.8493010541604e+022
5.0206666406882e+023
0
3.384239167984e+025
任何人都有可能出现问题的新提示？ （抱歉，我的lua interperter可能会有所不同，一般不确定lua .. 我只是使用一个用于游戏脚本的IDE
好的，越来越近了。我的C ++程序可以更好地处理事情，这里是代码。仍然得到错误的答案，但至少我得到相同数量的数字。我现在似乎无法弄清楚这有什么问题。问题是，这个练习是在一个网站上，我不知道正确的答案，只是我的程序给了我2 ^ 1000的错误答案。它通过我给它的其他测试用例（我可以手动完成并检查答案最多2 ^ 20）
#include <iostream>
#include <cmath>
double ModPow(int,int,long double);
int main() {
int base = 2;
int power = 1000;
long double mod = 10;
long double val = 0;
int i = 0;
int sum = 0;
double ans = pow(base,power);
std::cout << ans << std::endl;
while(ans != val) {
val = ModPow(base,power,mod);
std::cout<< val << " ";
sum += int(floor(val/(mod/10)));
mod = mod * 10;
i += 1;
if(i%5 == 0) std::cout << std::endl;
}
std::cout << std::endl << sum << std::endl;
std::cout << i << std::endl;
std::cin.ignore();
return 0;
}
double ModPow(int b, int e, long double m) {
double c = 1;
for(int i = 1; i <= e; i++) {
c = fmod(c*b,m);
}
return c;
}
在这里，我可以看到循环过程中仍存在奇怪的行为。从逻辑上讲，当我不断添加数字时，exp每次应增加1。我看到e + 22的行为并且它回落到e + 21，不知道为什么。这是我的程序的完整结果（我已经完成了双打长双打，并添加了文件写入，但结果与上面的代码相同）
6 76 376 9376 69376
69376 8.06938e+006 6.80694e+007 6.68069e+008 5.66807e+009
5.66807e+009 2.05668e+011 7.20567e+012 3.72057e+013 8.37206e+014
6.83721e+015 8.68372e+016 3.86837e+017 4.38684e+018 2.43868e+019
6.24387e+020 2.62439e+021 8.81371e+022 7.17853e+021 6.67056e+024
5.66706e+025 2.56671e+026 6.11305e+027 1.49872e+026 7.84562e+029
8.79213e+030 5.26226e+031 2.66375e+032 7.26638e+033 4.84075e+034
3.21959e+035 6.35788e+036 6.73897e+037 6.73897e+037 6.73897e+037
2.62589e+038 2.98945e+041 2.98945e+041 6.02989e+043 9.17698e+044
7.16921e+045 7.05229e+046 6.70523e+047 6.5113e+048 4.65113e+049
8.52121e+050 3.85212e+051 7.38521e+052 4.19563e+053 5.91881e+054
4.39205e+055 3.9345e+056 9.04097e+057 9.04097e+057 3.68596e+059
1.49612e+060 7.7534e+061 7.39705e+061 4.22204e+063 6.98596e+063
6.92886e+065 4.69289e+066 8.22986e+067 1.82299e+068 9.1823e+069
7.54478e+070 1.14456e+071 4.11446e+072 3.62523e+073 9.90302e+074
1.92488e+075 4.59175e+076 5.88549e+077 1.35968e+078 6.13597e+079
6.6136e+080 4.66136e+081 7.48063e+082 6.12132e+083 8.8392e+084
7.86463e+085 6.94822e+086 6.32933e+087 5.62433e+088 6.56243e+089
2.3548e+090 5.60251e+090 7.14338e+091 9.90736e+093 6.14551e+094
5.791e+095 2.5791e+096 5.12015e+097 1.81734e+098 3.08347e+099
4.30835e+100 4.43083e+101 9.44308e+102 8.62251e+103 4.79117e+104
4.47912e+105 4.70365e+106 6.26271e+107 9.63625e+108 1.34535e+109
2.5938e+110 4.77635e+110 7.92388e+112 2.33449e+113 9.38763e+114
1.74483e+115 4.23631e+116 3.8324e+117 3.10928e+118 8.8341e+119
9.80234e+120 5.28235e+121 4.52823e+122 8.69571e+123 7.59308e+124
6.61087e+123 8.34403e+126 8.26135e+127 3.82614e+128 6.83699e+128
5.48343e+130 7.05731e+131 2.02676e+132 1.20268e+133 3.72264e+134
4.37226e+135 5.43723e+136 1.68563e+137 9.63719e+138 3.70399e+139
1.84462e+140 6.61036e+141 4.66104e+142 3.85213e+143 2.38521e+144
7.39926e+145 4.95209e+146 2.70772e+147 1.27077e+148 9.49987e+149
6.39539e+150 9.72139e+151 5.89019e+152 7.15679e+153 7.15679e+153
3.38172e+154 5.84268e+156 9.72579e+157 4.87575e+158 5.6501e+159
1.85286e+160 4.18529e+161 4.60739e+162 7.12977e+163 5.71298e+164
8.86201e+165 7.8862e+166 5.82415e+167 4.61194e+168 8.46119e+169
7.95321e+170 9.01956e+171 7.90196e+172 1.40488e+173 2.38969e+174
9.12607e+175 8.5208e+176 2.61635e+177 7.26163e+178 1.87538e+179
6.18754e+180 6.6906e+181 2.05665e+182 3.79061e+183 4.37906e+184
4.43791e+185 9.87813e+186 1.98781e+187 7.03446e+188 1.57091e+189
5.7816e+190 7.57816e+191 2.1734e+191 3.5815e+193 9.77689e+194
8.97769e+195 1.08115e+196 5.10812e+197 4.6079e+198 4.46079e+199
5.44608e+200 3.69583e+201 3.36958e+202 1.94715e+203 9.19309e+204
1.7556e+205 9.45675e+206 5.94568e+207 6.45002e+208 9.11561e+209
1.17058e+210 8.60292e+211 7.86029e+212 2.48236e+213 1.2582e+214
6.04576e+215 9.60458e+216 4.34447e+217 5.43445e+218 8.42133e+219
9.84213e+220 1.8562e+221 8.38891e+221 1.08389e+223 7.01599e+223
1.07016e+225 3.10702e+226 4.3107e+227 1.50548e+228 1.06711e+229
8.65791e+230 9.86579e+231 8.18076e+232 2.68057e+232 1.85488e+234
1.85488e+234 2.26339e+236 4.66336e+237 6.27494e+238 5.24964e+239
3.52496e+240 2.99353e+240 9.96218e+242 8.99622e+243 4.9693e+243
1.33007e+245 3.78439e+246 1.99925e+247 8.51404e+248 8.47445e+249
2.95141e+250 7.13201e+251 1.7132e+252 9.76862e+253 9.36726e+254
3.92421e+255 6.39242e+256 8.42555e+256 4.87969e+258 4.09894e+259
2.17963e+260 1.61217e+261 8.27277e+261 4.08273e+263 4.53756e+264
9.67271e+265 9.67271e+265 9.19793e+267 1.91979e+268 2.52109e+267
5.12996e+270 6.60659e+271 9.64583e+272 6.96458e+273 3.07557e+274
7.59723e+275 4.30703e+276 6.07449e+277 2.87595e+278 5.82907e+279
4.59589e+279 2.07609e+281 6.20761e+282 9.17199e+283 5.9172e+284
5.9172e+284 7.05917e+286 6.70229e+287 2.67023e+288 6.26707e+289
8.62671e+290 1.86267e+291 7.18627e+292 7.18627e+292 6.07186e+294
8.60719e+295 8.60719e+295 5.08607e+297 1.50861e+298 7.15086e+299
7.15086e+299 1.07151e+301
答案 0 :(得分：6)
您想要一个不直接涉及2**1000的解决方案吗？好吧，我们可以手动完成。 2**1000有多少位数？绝对最多1,000。
因此：
int sum_digits(int e) {
std::vector<int> digits(e);
digits[0] = 1;
int last_digit = 1;
for (int power = 0; power < e; ++power) {
int carry = 0;
for (int idx = 0; idx < last_digit; ++idx) {
int prod = digits[idx] * 2 + carry;
if (prod > 9) {
carry = 1;
prod -= 10;
}
else {
carry = 0;
}
digits[idx] = prod;
}
if (carry) {
digits[last_digit++] = 1;
}
}
// then just sum 'em
return std::accumulate(digits.begin(), digits.end(), 0);
}
这很快，显然是正确的。当然，大哦时间不是很好，但对于1000,10k和100k coliru的力量给我答案0.4ms，28ms和2.8s。小学数学还不错？
答案 1 :(得分：1)
无论如何，在Ruby中它是：
(2**1000).to_s.chars.map(&:to_i).reduce(:+)
这给了1366。
为了验证结果，我还在giac中尝试了它：
s:=convert(2^1000,string)
sum(expr(mid(s,n,1)), n, 0, length(s)-1)
（也给了1366。）
原来我没有必要：WolframAlpha也可以解决它。
答案 2 :(得分：-1)
对于高达1000的指数，你真的不需要做任何特别的事情。这是Python中的一个例子，它即时计算它。在C ++中构建支持加法和乘法的大整数非常简单，只需要这两个命令就可以在O(n log n)算术运算中实现功能。
>>> sum(int(x) for x in str(2**10000))
13561
编辑：错过了数字本身将有300位数的事实。对于现代计算机来说仍然没有问题，这里计算一个数字中的数字位数的例子，这个数字是由300 2s到1000次幂组成的数字的结果：
>>> sum(int(x) for x in str(int("2" * 300)**1000))
1347957
仍在快速计算