更高尺寸的凸壳，找到多面体的顶点

Question

假设我在6维空间中给出了一个点云，我可以根据需要进行密集。这些点变成位于较低维多面体的表面上（即，点矢量（x1，x2，... x6）看起来是共面的）。

我想找到这个未知多面体的顶点，我目前的尝试是通过Python中的scipy接口使用qhull算法。在开始时，我只会得到错误消息，显然是由较低维度输入和/或许多退化点引起的。我尝试了几种蛮力方法来消除退化点，但不是很成功，所以最后，我想所有这些点都必须位于凸包上。

This question非常有用，因为它建议通过主成分分析减少尺寸。如果我将点投影到4D超平面，则qhull算法运行时没有错误（对于任何更高的维度，它不会运行）。

from scipy.spatial import ConvexHull
from sklearn.decomposition import PCA

model = PCA(n_components=4).fit(initial_points)
proj_points = model.transform(initial_points)
hull = ConvexHull(proj_points, qhull_options = "Qx")

上述问题的答案提到，在计算出投影点的凸包之后，需要将单纯形变换回来。但是qhull输出只包含索引，为什么这些索引与初始点的索引不匹配？

现在我的问题是我不知道使用哪种精度来实际获得正确的顶点。无论我对点云的密集程度如何，所获得的顶点随着精度的不同而不同。例如，对于（10000,6）数组中的初始点，我得到（其中E0.03是其工作的最大值）：

hull1 = ConvexHull(proj_points, qhull_options = "Qx, E0.03")
print len(hull1.vertices)
print hull1.vertices

5
[ 437 2116 3978 7519 9381]

将其绘制在轴0,1,2（其中蓝点代表初始点云的选择）的某些（非信息丰富的）投影中：

但是为了获得更高的精度（当然），我得到了一个不同的集合：

hull2 = ConvexHull(proj_points, qhull_options = "Qx, E0.003")
print len(hull2.vertices)
print hull2.vertices

29
[  74   75  436  437  756 1117 2116 2366 2618 2937 3297 3615 3616 3978 3979
 4340 4561 4657 4659 4924 5338 5797 6336 7519 7882 8200 9381 9427 9470]

相同投影（角度略有不同）：

我怀疑第一张图片没有足够的顶点而第二张图片可能有太多。虽然我当然无法从这些情节中提取严谨的信息。但有没有一种很好的方法可以找出使用哪种精度？或者对这个问题采取完全不同的方法（我已经试过了几个）？

Answer 1

在这个答案中，我假设您已经使用PCA将数据近乎无损地压缩为4维数据，其中减少的数据位于具有概念上很少面的4维多面体中。我将描述一种求解这个多面体的面的方法，它将为你提供顶点。

令R ⁴ 中的x _i ，i = 1，...，m，是PCA减少的数据点。

设F =（a，b）为 face ，其中a在R ⁴ 中，a = a = 1且b在R中。

我们如下定义面损失函数L，其中λ ⁺ ，λ ^- ＆gt; 0是您选择的参数。 λ ⁺ 应该是一个非常小的正数。 λ ^- 应该是一个非常大的正数。

L（F）= sum _i （λ ⁺ •max（0，a•x _i + b） - λ ^- •min（0，a•x _i + b））

我们希望找到关于损失函数L的 minimal 面.F。所有最小面的小集将描述你的多面体。您可以通过随机初始化F然后使用偏导数∂L/∂a _j ，j = 1,2,3,4和∂L/∂b执行梯度下降来求解最小面。在梯度下降的每个步骤中，通过标准化将a a约束为1。

∂L/∂a _j = sum _i （λ ⁺ •x _j •[a• x _i + b> 0] - λ ^- •x _j •[a•x _i + b ＆lt; 0]）对于j = 1,2,3,4

∂L/∂b= sum _i （λ ⁺ •[a•x _i + b> 0] - λ< sup> - •[a•x _i + b <0]）

注意Iverson brackets：如果P为真，则[P] = 1，如果P为假，则[P] = 0。