三维贝塞尔曲线的零切线，如何处理？

Question

如图所示，贝塞尔曲线的方向（切线）在某一点可能为零（0,0,0）。例如。对称贝塞尔曲线定义为：

    bezier.anchor1.copyFrom(new Vector3D(-1,0,0));
    bezier.control1.copyFrom(new Vector3D(1,0,0));
    bezier.anchor2.copyFrom(new Vector3D(1,0,0));
    bezier.control2.copyFrom(new Vector3D(-1.,0,0));

t = 0.5时的方向是（0,0,0）。这可能是一个罕见/极端的用例，但我肯定需要总是有一个非零的方向。

从编程上讲，我应该如何处理它？重新计算附近另一个t的方向（比如t1 = t * 0.99999 = 0.499995）然后返回那个方向？

Answer 1

我不知道为什么你不能将0范数向量作为导数。我想你试图沿曲线动画一些东西，然后那个衍生物就是速度......你那时的速度是零，因为你暂时不动。应该没有问题。

为什么0？让我们来看一个病态案例

请参阅此插图，其中锚点分别为(-1,-y,0)和(-1,y,0)以及控制点(1,-y,0)，(1,y,0)。

现在您可以看到在参数定义的点t=0，t=0.5和t=1处绘制的切线会发生什么。在t=0.5处，切线在x轴中丢失了所有分量，但仍然朝着y轴缓慢移动，因此右边的切线很小。

但是，您将此y参数修改为0的次数越多，您就会展平曲线并获得一个细分。在点t=0.5处，您的切线不具有零x组合（如前所述），但也在y维度上，因为该图将是一维的。

所以零切线是一种病态情况，当你的身材尺寸太小时可能会出现这种情况。

解决方法：降低学位

贝塞尔曲线有许多订单，通用订单n的公式为：

P _i 曲线的点，b _i 称为{{3度数为n（参见Bernstein basis polynomials有关曲线不同阶数的不同说明）。

在您的情况下，您将从(-1,0,0)转到(1,0,0)，控制点位于同一行，有效地绘制了细分[(-1,0,0), (1,0,0)]。因此，您绘制一个线段，并且您只需要2个点：您应该使用由t * P0 + (1-t) * P1定义的一阶多项式，这是一个平凡的插值。在你的形式主义中，我想：

bezier.anchor1.copyFrom(new Vector3D(-1,0,0));
bezier.anchor2.copyFrom(new Vector3D(1,0,0));

并没有控制点。 然后没有0切线（除非你得到一个尖点）！

Answer 2

事情比你的例子更糟糕。很可能在{3}贝塞尔曲线中出现cusp。例如，控制点[80,214]，[217,50]，[75,50]，[222,206]。你的例子实际上是一个扁平的尖点。

。

如果你沿着切线跟随它们在尖点处经过180º翻转的曲线，尖点是非常棘手的。尖点也很常见，如果你有一个动画的曲线序列，当一个循环展开时，你可能会在一个帧中出现尖点。您可以在现实世界中经常看到它们，在茶杯底部的光线模式中，以及在3D中将曲线投影到2D上（例如将曲线（t，t ^ 2，t ^ 3）投影到YZ飞机）。好消息是它们通常是孤立的点，你只能得到一个立方贝塞尔曲线。

现在如何处理这些尖点可能取决于您的应用程序。如果它描述某个物体的路径会发生什么，那么物体在尖点处停止并沿相反方向离开。说对象此时具有零切向量可能是合理的。有可能将曲线分割为尖点。

您可以在带有画布的javascript中看到带有可移动控制点http://jsfiddle.net/SalixAlba/QQnvm/6/的交互式示例

var P = [{X:  80, Y: 214 }, 
         {X: 217, Y:  50 }, 
         {X:  75, Y:  50 }, 
         {X: 222, Y: 206 }, ];
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(P[0].X, P[0].Y);
ctx.bezierCurveTo(P[1].X, P[1].Y, P[2].X, P[2].Y, P[3].X, P[3].Y);
ctx.stroke();