如何使用Python内置函数odeint求解微分方程？

Question

我想用给定的初始条件求解这个微分方程：

(3x-1)y''-(3x+2)y'+(6x-8)y=0, y(0)=2, y'(0)=3

ans应该是

y=2*exp(2*x)-x*exp(-x)

这是我的代码：

def g(y,x):
    y0 = y[0]
    y1 = y[1]
    y2 = (6*x-8)*y0/(3*x-1)+(3*x+2)*y1/(3*x-1)
    return [y1,y2]

init = [2.0, 3.0]
x=np.linspace(-2,2,100)
sol=spi.odeint(g,init,x)
plt.plot(x,sol[:,0])
plt.show()

但我得到的与答案不同。 我做错了什么？

Answer 1

这里有几个问题。首先，你的等式显然是

（3×-1）Y＆＃39;＆＃39 ;-( 3X + 2）Y＆＃39 ;-( 6X-8）Y = 0; y（0）= 2，y＆＃39;（0）= 3

（注意y中术语的符号）。对于此等式，您的分析解决方案和y2的定义是正确的。

其次，正如@Warren Weckesser所说，您必须将y的2个参数传递给g：y[0]（y），y[1]（y＆＃39;）并返回他们的衍生物，y＆＃39;和y＆＃39;＆＃39;。

第三，你的初始条件是x = 0，但你要整合的x网格从-2开始。在odeint的文档中，此参数t在其调用签名描述中：

odeint(func, y0, t, args=(),...)：

  

t：数组       要解决y的一系列时间点。最初的       值点应该是该序列的第一个元素。

所以你必须从0开始整合或提供从-2开始的初始条件。

最后，您的整合范围涵盖了x = 1/3处的奇点。 odeint可能在这里度过了不愉快的时光（但显然没有）。

这是一种似乎有效的方法：

import numpy as np
import scipy as sp
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

def g(y, x):
    y0 = y[0]
    y1 = y[1]
    y2 = ((3*x+2)*y1 + (6*x-8)*y0)/(3*x-1)
    return y1, y2

# Initial conditions on y, y' at x=0
init = 2.0, 3.0
# First integrate from 0 to 2
x = np.linspace(0,2,100)
sol=odeint(g, init, x)
# Then integrate from 0 to -2
plt.plot(x, sol[:,0], color='b')
x = np.linspace(0,-2,100)
sol=odeint(g, init, x)
plt.plot(x, sol[:,0], color='b')

# The analytical answer in red dots
exact_x = np.linspace(-2,2,10)
exact_y = 2*np.exp(2*exact_x)-exact_x*np.exp(-exact_x)
plt.plot(exact_x,exact_y, 'o', color='r', label='exact')
plt.legend()

plt.show()