查找跨越给定最小生成树的最小权重完整图

Question

设 T =（V，E）是|V|个顶点和|E| = |V-1|边的树，具有已知成本。我们想要构建一个最小权重完整图 G =（V，E'），它将 T 作为唯一的最小生成树。< / p>

示例：考虑以下树 T 。 红色中的边缘具有给定的成本。将添加虚线边缘以从该树构造完整的图形。

将 T 作为其唯一MST的最小权重完整图 G 如下：

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我正在尝试找到生成此图的（多项式时间）算法。我主要是寻求提示，而不是完整的解决方案。到目前为止，我已经设计了以下算法：

1）找到图形的切割，其中包括最重的MST边缘w_max，而没有其他MST边缘。所有其他边缘必须为w_max + 1。以下图片说明了我的想法：

边缘（1--2），（1--4），（4-5），（2-3）和（2-5）包含在此切割 C 。 MST中包含的唯一边是边（2--3），它​​是MST中最重的边，w=56。因此，所有其他边缘应具有w=57。证明：假设相反;我们可以用另一条边取代（2--3）并保持树的连接。现在树的重量较轻，因此（2--3）不属于MST。矛盾。

2）重量为e_i的MST的所有其他边w_i，重量减少。进行仅包含e_i而不包含其他MST边缘的剪切。此切割的任何未知的非MST边缘应具有w_i + 1的权重。

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问题：

1）上述算法是否正确？根据Cut属性，它应该是。

2）我可以更有效地做到吗？我没有算法在我的头顶找到削减，但我觉得这种方法效率不高。

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编辑：我想到的另一种方法是基于Kruskal算法的方法：

1）使用Union-Find，我按升序成本迭代所有MST边，并统一同一组件下的相应顶点。

2）在每个步骤中，两个不同的组件通过成本w的边缘统一。在同一（新）组件中形成循环的任何其他边缘的成本应为w+1。

Answer 1

回答我自己的问题

这是我提出的有效答案，也是@sasha的反馈。 假设我们想要计算完整图G的总权重，即

  

设T =（V，E）为| V |的树顶点和| E | = | V | -1边，具有已知权重。计算最小权重完全图G =（V，E＆＃39;）的总权重w_total，其中T作为其唯一的最小生成树。   注意：边缘权重是自然数。

算法：

1. 使用|V|单例组件初始化Union-Find。
2. 按权重递增T的所有边。运行时间：O（| V | * log | V |）。
3. 迭代e = (v1,v2)的下一个边T。将其权重w_e添加到w_total。
4. 在联盟中查找v1和v2个组件 - 查找：set1，set2，其中包含size1和/ size2顶点。
5. 这些组件将统一起来。由于G是一个完整的图表，因此会添加size1 × size2个边缘：一个边缘是MST e边缘，所有其他边缘都必须比e重，因此Kruskal＆＃ 39; s算法会忽略它们。因此，它们的最小重量应至少为w_e + 1。
6. w_total += (size1 × size2 - 1) × (w_e + 1)。
7. 统一两个组件set1和set2。
8. 从步骤2开始重复下一个MST边缘e。

运行时间：O（| V | * log | V |）。

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如果问题变为：详细列出完整图表的所有边e = (v1, v2)及其权重w，我们只需执行步骤6和7之间的操作：

for all vertices v1 in set1
  for all vertices v2 in set2
    create edge e = (v1, v2); ignore if edge is the MST edge
    w_e = w_mst_edge + 1

因此，运行时间变为O（| E | + | V | * log | V |）= O（| V | ^ 2），因为我们有| E |完整图G中的= | V | *（| V | -1）/ 2个边。