具有源S和接收器T的流网络，如何找到任何2个顶点之间的最大流量？

Question

给定具有源s和接收器t的流网络。对于每两个节点u，v，假设从u到v的容量与从v到u的容量相同。给定两个顶点x，y，设计一个多项式时间算法，找到从x到y的单个路径，您可以沿该路径发送尽可能多的流。 简要证明算法的正确性并分析运行时间。

非常感谢

Answer 1

您遇到的问题称为最大流算法，它有多个solutions，并且所有这些都是多项式的。

您可以使用Ford–Fulkerson algorithm，因为它很容易理解，因为您可以看到维基页面包含您对该算法所需的所有内容。

编辑：之前我提供的答案，没有给你单一的路径，而是给你最大的流量。

要找到单一路径，您只需在x和y之间的每条路径中找到瓶颈。瓶颈是指路径中容量最小的边缘，因为路径的容量是该边缘的容量。

为了找到每个路径中的最低容量，您可以简单地开始从最低容量到最高容量去除图形中的边缘，并且从图形中移除每个边缘只检查x和y是否连接。使x和y断开连接的第一条边是您想要的边缘，其容量是您想要的容量。因为x和y之间的每条路径要么具有此边缘，要么具有较低容量的边缘。

算法的时间复杂度：

1. 排序边：O（E log E）。
2. 删除每条边，直到找到所需的边：O（E）。
3. 检查第二步中的连接：O（V + E）（使用Strongly connected component算法检查）

因此算法的复杂性为：O（E log E）+ O（EV + E ² ）= O（EV + E ² ）< /强>