Question

我有一个家庭作业要求我检查，对于任何三个数字，a，b，c，使得0 <= a，b，c <= 10 ^ 16，如果我可以通过添加a来达到c b彼此。诀窍是，每增加一次，它们的值就会发生变化，所以如果我们将a添加到b，那么我们就会得到数字a和a + b，而不是a和b。因此，我意识到这不是一个简单的线性方程式。

为了实现这一目标，目标编号c必须能够以下列形式表示：

c = x a + y b

通过一些测试，我发现x和y的值不能相等，也不能两者都是偶数，以便我能够达到数字c。记住这一点，以及一些涉及a，b或c等于零的特殊情况。

有什么想法吗？

编辑：这不是欧几里德的算法，它不是一个丢番图方程，也许我用c = x a + y c的陈述误导了你。即使他们应该满足这个陈述，但这对于手头的任务还不够。

以a = 2，b = 3，c = 10为例。为了达到c，你需要在第一步中向a或b添加a到b，然后在第二步中你得到：a = 2，b = 5或a = 5，b = 3如果你继续这样做，你永远不会达到c。 Euclid的算法将提供输出yes，但很明显，你不能通过将2和3相加来达到10。

Answer 1

注意：重申问题，正如我所理解的那样：假设你给出了非负整数a，b和c。是否可以通过执行零个或多个操作a = a + b或b = b + a的序列来达到a + b == c的位置？

好的，在进一步研究之后，我认为你可以对你在问题中所做的陈述做一点改动：

为了使这成为可能，目标号c必须能够   以下列形式表示：

c = x a + y b

其中GCD（ x ， y ）= 1。

（另外， x 和 y 需要是非负的;我不确定它们是否为0。）

您的原始观察结果 x 可能不等于 y （除非他们都是1）和 x 和 y 不能都是偶数，新条件GCD（ x ， y ）= 1;所以这些观察结果是正确的，但不够强大。

如果你在程序中使用它而不是你已经拥有的测试，它可能会使测试通过。（我不保证任何事情。）对于更快的算法，您可以使用评论中建议的扩展欧几里德算法（和Henry的答案）来找到一个 x ₀和 y ₀;但如果GCD（ x ₀， y ₀）≠1，你必须尝试其他可能性 x = x ₀ + n b， y = y ₀ - n a，对于某些 n （可能是否定的）。

我没有严格的证据。假设我们构造了所有对的集合 S （ x ， y ），使得（1,1）在 S ，如果（ x ， y ）在 S 中，那么（ x ， x < / em> + y ）和（ x + y ， y ）位于 S 。显而易见的是（1， n ）和（ n ，1）在所有 n的 S 中＆gt;然后我们可以试着找出一些 m 和 n ＆gt; 1，该对（ m ， n ）如何进入 S ？如果 m ＆lt; n ，只有当 m ， n - m ）已经在 S <时才有可能/ em>的。如果 m ＆gt; n ，只有当（ m - n ， n ）已经在取值。无论哪种方式，当你不断从较大的数字中减去较小的数字时，你得到的基本上是欧几里德的算法，这意味着你将达到你的对的位置（ g ， g ）其中 g = GCD（ m ， n ）;只有在 g = 1时，该对才在 S 中。在我看来， x 和 y 正是 S 中的那些。不过，这部分是基于直觉;要使其严谨，还需要做更多的工作。

Answer 2

import java.util.*;
import java.math.BigInteger;

public class Main
{
    private static boolean result(long a, long b, long c)
    {
        long M=c%(a+b);
        return (M%b == 0) || (M%a == 0);
    }
}

想法：c = xa + by，因为x或y更大，我们可以用两种形式之一写出后一个等式： C = X（A + B）+（Y-x）B， C = Y（A + B）+（X-Y）一个取决于谁更大，所以通过每次减少c + + b，c最终变为： c =（y-x）b或c =（x-y）b，因此c％b或c％a将评估为0.

Answer 3

如果我们暂时忘记x和y应该是正数，则等式c = xa + yb要么没有，要么无限多。当c不是gcd（a，b）的倍数时，没有解决方案。

否则，调用gcd（a，b）= t使用扩展的欧几里德算法来找到d和e，使得t = da + eb。然后通过c = dc / t a + ec / t b给出一种解决方案。

很明显0 = b / t a - a / t b因此可以通过在等式中加上f的多个f来找到更多的解：

c = (dc + fb)/t a + (ec - af)/t b

当我们现在重新引入x和y必须为正或零的限制时，问题就变成找到f的值，使得x =（dc + fb）/ t和y =（ec-af）/ t都为正或零。

如果dc＆lt; 0尝试使dc + fb＆gt; = 0的最小f，看看ec-af是否也> = 0。

否则尝试使ec-af> = 0的最大f（负数）并检查dc + fb＆gt; = 0。

添加两个数字以达到值的算法

3 个答案: