Question

我获得了三点的位置：

p1 = [1.0, 1.0, 1.0]
p2 = [1.0, 2.0, 1.0]
p3 = [1.0, 1.0, 2.0]

和他们改造的对手：

p1_prime = [2.414213562373094,  5.732050807568877, 0.7320508075688767]
p2_prime = [2.7677669529663684, 6.665063509461097, 0.6650635094610956]
p3_prime = [2.7677669529663675, 5.665063509461096, 1.6650635094610962]

仿射变换矩阵的形式为

trans_mat = np.array([[…, …, …, …],
                      […, …, …, …],
                      […, …, …, …],
                      […, …, …, …]])

这样用

import numpy as np

def transform_pt(point, trans_mat):
    a  = np.array([point[0], point[1], point[2], 1])
    ap = np.dot(a, trans_mat)[:3]
    return [ap[0], ap[1], ap[2]]

你会得到：

transform_pt(p1, trans_mat) == p1_prime
transform_pt(p2, trans_mat) == p2_prime
transform_pt(p3, trans_mat) == p3_prime

假设转换是同质的（仅包含旋转和平移），我该如何确定转换矩阵呢？

从CAD程序中，我知道矩阵是：

trans_mat = np.array([[0.866025403784, -0.353553390593, -0.353553390593, 0],
                      [0.353553390593,  0.933012701892, -0.066987298108, 0],
                      [0.353553390593, -0.066987298108,  0.933012701892, 0],
                      [0.841081377402,  5.219578794378,  0.219578794378, 1]])

我想知道如何找到它。

Answer 1

单独的六个点不足以唯一地确定仿射变换。但是，根据您之前在问题中提出的问题（在删除之前不久）以及your comment，您似乎不仅仅在寻找仿射变换，而是在进行同类仿射变换

This answer by robjohn提供了解决问题的方法。虽然它解决了许多问题的更普遍的问题，但6点的解决方案可以在答案的最底部找到。我将以更加程序员友好的格式将其转录：

import numpy as np

def recover_homogenous_affine_transformation(p, p_prime):
    '''
    Find the unique homogeneous affine transformation that
    maps a set of 3 points to another set of 3 points in 3D
    space:

        p_prime == np.dot(p, R) + t

    where `R` is an unknown rotation matrix, `t` is an unknown
    translation vector, and `p` and `p_prime` are the original
    and transformed set of points stored as row vectors:

        p       = np.array((p1,       p2,       p3))
        p_prime = np.array((p1_prime, p2_prime, p3_prime))

    The result of this function is an augmented 4-by-4
    matrix `A` that represents this affine transformation:

        np.column_stack((p_prime, (1, 1, 1))) == \
            np.dot(np.column_stack((p, (1, 1, 1))), A)

    Source: https://math.stackexchange.com/a/222170 (robjohn)
    '''

    # construct intermediate matrix
    Q       = p[1:]       - p[0]
    Q_prime = p_prime[1:] - p_prime[0]

    # calculate rotation matrix
    R = np.dot(np.linalg.inv(np.row_stack((Q, np.cross(*Q)))),
               np.row_stack((Q_prime, np.cross(*Q_prime))))

    # calculate translation vector
    t = p_prime[0] - np.dot(p[0], R)

    # calculate affine transformation matrix
    return np.column_stack((np.row_stack((R, t)),
                            (0, 0, 0, 1)))

对于您的样本输入，这将恢复与您从CAD程序中获得的完全相同的矩阵：

>>> recover_homogenous_affine_transformation(
        np.array(((1.0,1.0,1.0),
                  (1.0,2.0,1.0),
                  (1.0,1.0,2.0))),
        np.array(((2.4142135623730940, 5.732050807568877, 0.7320508075688767),
                  (2.7677669529663684, 6.665063509461097, 0.6650635094610956),
                  (2.7677669529663675, 5.665063509461096, 1.6650635094610962))))
array([[ 0.8660254 , -0.35355339, -0.35355339,  0.        ],
       [ 0.35355339,  0.9330127 , -0.0669873 ,  0.        ],
       [ 0.35355339, -0.0669873 ,  0.9330127 ,  0.        ],
       [ 0.84108138,  5.21957879,  0.21957879,  1.        ]])

Answer 2

找到转换就像解决任何未知的方程组。首先，你必须写下等式，在你的情况下，这意味着你必须知道你正在寻找什么样的转换。例如。刚性平移需要三个参数（x，y和z），因此您必须至少有三个参数。一般旋转需要另外三个参数，这会给你六个未知数。缩放为您提供另外三个参数，总共9个参数。由于你只说了三个点，这就产生了9个unknows，这就是你正在寻找的转变。这意味着你忽略了任何剪切和投射。您应该始终知道要查找的转换类型。

一旦你知道转换的类型，你应该记下矩阵方程，然后求解未知数。这可以通过矩阵乘法用线性代数库完成，例如，通过numpy。

Answer 3

如果原始数据（p1，p2，p3 i 你的情况）和转换数据（p1_prime，p2_prime，p3_prime），则可以确定转换矩阵 ）如下所示：

>>> p   # original data
array([[ 1.,  1.,  1.],
       [ 1.,  2.,  1.],
       [ 1.,  1.,  2.]])
>>> p_prime  # transformed data
array([[ 2.41421356,  5.73205081,  0.73205081],
       [ 2.76776695,  6.66506351,  0.66506351],
       [ 2.76776695,  5.66506351,  1.66506351]])
# Get transformation matrix
>>> trans = np.dot(np.linalg.inv(p),p_prime)
>>> trans  # transformation matrix
array([[ 1.70710678,  4.86602541, -0.13397459],
       [ 0.35355339,  0.9330127 , -0.0669873 ],
       [ 0.35355339, -0.0669873 ,  0.9330127 ]])
# obtain transformed data from original data and transformation matrix
>>> np.dot(a, trans)  
array([[ 2.41421356,  5.73205081,  0.73205081],
       [ 2.76776695,  6.66506351,  0.66506351],
       [ 2.76776695,  5.66506351,  1.66506351]])

在您的情况下，由于所有三个点都有一些未知数据转换ap[3]值，因此无法获得转换矩阵。只有知道这三个值才能获得它。

Answer 4

此问题称为点对点注册或point-set registration。

对于刚性变换，即忽略剪切和缩放，我喜欢这个tutorial。我参与了寻找质心并应用奇异值分解。

请注意，对于您的特定情况，恰好有三个点，您可以找到一个封闭的表单解决方案。

OpenCV很有帮助。

哦，看看Finding translation and scale on two sets of points to get least square error in their distance?

使用Python从3D中的六个点确定均匀仿射变换矩阵

4 个答案: