Question

我有一个正整数数组 - {1,5,8,2,10}和给定值7。我需要找出数组的子集是否存在，使其元素的XOR值为7。在这种情况下，子集是{5,2}，因为5 xor 2是7。一个天真的解决方案是找到所有子集并检查是否存在解决方案。我想要一些比天真更好的算法。注意： - 我只需要找出是否存在解决方案。我不需要找到该子集。

Answer 1

这归结为用有两个元素（GF（2））求解有限域上的线性方程组。这里的按位XOR相当于添加两个向量。样本输入对应于这样的向量。

系统看起来像这样。

[0  0  1  0  1] [a]   [0]
[0  1  0  0  0] [b]   [1]
[0  0  0  1  1] [c] = [1]
[1  1  0  0  0] [d]   [1]
                [e]

以下Python代码使用Gaussian elimination并使用按位运算实现。对于固定宽度的整数，它以线性时间运行。请原谅我没有重新解释高斯消除当互联网上有一百万个更好的治疗方法。

#!/usr/bin/env python3
def least_bit_set(x):
    return x & (-x)


def delete_zeros_from(values, start):
    i = start
    for j in range(start, len(values)):
        if values[j] != 0:
            values[i] = values[j]
            i += 1
    del values[i:]


def eliminate(values):
    values = list(values)
    i = 0
    while True:
        delete_zeros_from(values, i)
        if i >= len(values):
            return values
        j = i
        for k in range(i + 1, len(values)):
            if least_bit_set(values[k]) < least_bit_set(values[j]):
                j = k
        values[i], values[j] = (values[j], values[i])
        for k in range(i + 1, len(values)):
            if least_bit_set(values[k]) == least_bit_set(values[i]):
                values[k] ^= values[i]
        i += 1


def in_span(x, eliminated_values):
    for y in eliminated_values:
        if least_bit_set(y) & x != 0:
            x ^= y
    return x == 0


def main():
    values = [1, 5, 8, 2, 10]
    eliminated_values = eliminate(values)
    print(eliminated_values)
    x = int(input())
    print(in_span(x, eliminated_values))


if __name__ == '__main__':
    main()

查找是否存在整数数组子集的高效算法，其所有元素的xor是否为给定值？

1 个答案: