Question

如何找到数组A的所有子数组的值的按位异或

A = [1,2]
Output : 0

Explanation : 
Sub Arrays :`[1], [2], [1,2]` (XOR of all subarrays = 0)

Answer 1

要回答这个问题，必须为每个元素决定它是出现在奇数还是偶数个子数组中。奇怪的是，它会出现在xor总和中，即使它不会出现。

位置i的元素将包含在(i+1) * (n-i)子阵列中。这是因为任何包含i的子数组都从索引0,1，...，i开始。并在索引i，i + 1，...，n-1结束。现在(i+1) * (n-1) = i(n-1) + i*i + n = (i+1)n (mod 2) x^2 = x (mod 2)，因为任何x都是n。

因此，如果n是偶数，则奇数个子数组中不会出现任何元素。如果def xor_all_subarrays(A): if len(A) % 2 == 0: return 0 r = 0 for i in xrange(0, len(A), 2): r ^= A[i] return r为奇数，偶数索引处的元素将出现在奇数个子数组中。

所以：

export function serverLog(input) {
    http.post('server-log', input);
}

Answer 2

如果使用子阵列表示 powersets ，则可以使用以下事实：

对于大小 n 的列表，有2个ⁿ列表，每个元素出现在 2 ⁿ / 2 ;和
按位xor操作是可交换的和关联的：x ^ y ^ z等于z ^ x ^ y。

现在，如果列表大于一个元素，则每个元素都会出现： 2 ⁿ / 2 次，这是 2的幂。如果您对元素进行两次xor，则每个0的结果为x ^ x = 0：x。因此，由于它是2的幂（大于或等于2），每个元素的xoring为2的幂，结果将为0。如果有一个元素，则两个子数组为[]和[x]，因此在这种情况下，结果为x。所以快速算法是：

def xor_subarrays_powerset(data):
    if len(data) == 1:
        return data[0]
    else:
        return 0

如果这些是基于索引的连续列表，则故事有点不同：

此处元素 j （零索引）将位于：

 n
---  
\     
/    min(j+1,n,i-n+1,n-j)
---  
i=1

确实如果您有一个列表[1,2,3,4]：有以下“窗口”：

1,2,3,4
x
  x
    x
      x
1 1 1 1
x x
  x x
    x x
1 2 2 1
x x x
  x x x
1 2 2 1
x x x x
1 1 1 1
-------
4 6 6 4

以及长度为5的列表

1,2,3,4,5
x
  x
    x
      x
        x
1 1 1 1 1
x x
  x x
    x x
      x x
1 2 2 2 1
x x x
  x x x
    x x x
1 2 3 2 1
x x x x
  x x x x
1 2 2 2 1
x x x x x
1 1 1 1 1
---------
5 8 9 8 5

那么我们注意到了什么：

对于列表，第一个和最后一个元素始终计为 n 次。这是合乎逻辑的，因为每个移动窗口只通过这些元素一次。
第二个和一个但最后一个元素总是计算 2×（n-2）+2 次。由于所有窗户除了最小和最大通过两次;
第三个和第二个但最后一个元素总是计算 3×（n-4）+ 2×2 + 2 次;
第四个和三个但最后一个元素总是计算 4×（n-6）+ 3×2 + 2×2 + 2 ;一般来说：
i -th和 ni -th元素（索引为零，i≤n/ 2 ）计算（i 1）×（N-2×I）+ ... 。 ... 并不重要，因为它们是所有两个的倍数。由于与自身相关的元素为0，因此两个的倍数不计算在内。

所以现在我们只需要确定元素对总数的贡献是偶数还是奇数。我们知道如果列表的长度是偶数， n 是偶数，因此所有（n-2×i），这意味着没有元素将贡献，结果因此0。如果列表是奇数，第一个元素将贡献奇数（因为（i + 1）×（n-2×i）是奇数）并且下一个元素将贡献均匀，下一个元素将再次贡献奇数。

因此，如果列表具有奇数长度，则意味着我们只需要对位于0，2，4的元素进行xor，...我们可以这样做用：

from itertools import islice

def xor_subarrays_contiguousness(data):
    if len(data)&1:
        r = 0
        for e in islice(data,0,None,2):
            r ^= e
        return r
    else:
        return 0

我们能否在O（n）时间内找到整数数组的所有子数组的按位异或？

2 个答案: